Okno ma kształt prostokąta...

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
sensualite1111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 9 lis 2008, o 08:24
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ...
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Okno ma kształt prostokąta...

Post autor: sensualite1111 » 27 gru 2008, o 14:26

Okno ma kształt prostokąta z dołączonymi na dole i górze półkolami.
a) Podaj wzór na pole P powierzchni okna w zależności od r i y.
b) Uzasadnij, że jeśli obwód okna jest równy 6m, to pole P wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ P=6r-\pi r^{2}[m^{2}]}\).
c) Dla jakiego r pole powierzchni okna, którego obwód jest równy 6 m, jest największe?


Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Okno ma kształt prostokąta...

Post autor: Justka » 27 gru 2008, o 14:55

a)rozumiem, że "y" do bok okna, a r promień półkola (i tym samym połowa drugiego boku)?
Pole okna składa sie z pola prostokąta o bokach y i 2r i dwóch półkoli, które dają w sumie całe koło o promieniu r.
\(\displaystyle{ P=y\cdot 2r+2\cdot \frac{1}{2}\pi r^2 \iff P=2yr+\pi r^2}\)

b)\(\displaystyle{ O=6=2\pi r+2y \ \ y=3-\pi r}\), podstawiając wyliczone y do wzoru na pole okna \(\displaystyle{ P=\pi r^2+2yr}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ P=6r-\pi r^2 [m^2]}\)

c)Rozważamy funkcję \(\displaystyle{ f(r)=-\pi r^2+6r}\), jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, czyli największa wartość przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})}\), zatem:
\(\displaystyle{ f_{max}=-\frac{36}{-4\pi}=\frac{9}{\pi}}\) dla \(\displaystyle{ r=\frac{3}{\pi}}\)
Ostatnio zmieniony 27 gru 2008, o 14:58 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Okno ma kształt prostokąta...

Post autor: Sherlock » 27 gru 2008, o 14:55



a) pole powierzchni okna to pole prostokąta o bokach y i 2r oraz pole koła (dwie połówki) o promieniu r

\(\displaystyle{ P=2ry + \pi r^2=r(2y+ \pi r)}\)

b) obwód okna to \(\displaystyle{ 2y}\)plus \(\displaystyle{ 2 \pi r}\):
\(\displaystyle{ 2y+2 \pi r=6}\)
\(\displaystyle{ y+ \pi r=3}\)
\(\displaystyle{ y=3- \pi r}\)

\(\displaystyle{ P=2ry + \pi r^2=r(2y+ \pi r)}\)
\(\displaystyle{ y=3- \pi r}\)
\(\displaystyle{ P=r[2(3 - \pi r)+ \pi r]=r(6-2 \pi r + \pi r)=r(6- \pi r)=6r- \pi r^2}\)

c)
\(\displaystyle{ P=6r- \pi r^2}\)
Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół - funkcja osiaga wartość największą \(\displaystyle{ q= \frac{- \Delta}{4a}}\) dla \(\displaystyle{ r= \frac{-b}{2a}}\)
u nas: \(\displaystyle{ P=-\pi r^2+6r}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a=-\pi}\)
\(\displaystyle{ b=6}\)
\(\displaystyle{ c=0}\)

ODPOWIEDZ