okresowość funkcji z logarytmem

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 00:56

Z czego wynika, że funkcja \(\displaystyle{ y=x-2\ln x}\) nie jest okresowa?

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: bedbet » 27 gru 2008, o 01:44

Możesz pokazać wprost z definicji, bądź po prostu zbadać przebieg zmienności tej funkcji

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 02:03

Druga ewentualność odpada, bo zbadanie okresowości jest częścią badania przebiegu zmienności tej funkcji. A jak to zrobić z definicji?

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 10:05

dla każdego x\(\displaystyle{ \in}\) D zachodzi równość f(x + T) = f(x).(D - dziedzina funkcji) to jest definicja. Zatem musimy pokazać, że prawdziwa jest równość: x+ T - 2 ln(x+T)= x- 2 lnx(dla każdego x oczywiście). I jak sobie odpowiednio przekształcimy tę rownosc to widzimy że takie T nie istnieje , aby ta równość była prawdziwa dla wszystkich x-sów. Zatem funkcja nie jest okresowa.

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 11:38

miodzio1988 pisze:I jak sobie odpowiednio przekształcimy tę rownosc to widzimy że takie T nie istnieje
w tym sęk, że do tego momentu to ja wiem, chodzi mi raczej o to, jak sobie odpowiednio przekształcić to równanie

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 11:49

skracamy x , logarytm przenosimy na drugą stronę . Korzystamy ze wzoru na roznice logarytmow o tej samej podstawie.
(http://matematyka.pisz.pl/strona/218.html)
i z takiej juz postaci mozemy stwierdzic , ze nie istnieje takie T, aby ta rownosc byla prawdziwa dla kazdego x.

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 11:55

zgadza się, mamy
\(\displaystyle{ \ln\frac{x+T}{x}=\frac{1}{2}T}\)
ale jak pokazać, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ T\neq 0}\) ?

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 12:28

musi zatem istniec takie T , że dla kazdego x jest spelniona rownosc: \(\displaystyle{ e^{ \frac{T}{2} }}\) = 1+ \(\displaystyle{ \frac{T}{x}}\). Jedynym takim T jest 0 , inne nie spelniaja tego warunku. Po lewej masz funkcje stałą , natomiast po prawej funkcje wykładniczą . Zatem widać ze dla kazdego x rownosc nie jest prawdziwa.

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 12:42

po prawej jest hiperbola, a nie funkcja wykładnicza, ale OK - pasuje mi argumentacja:)

Mam teraz tylko jedno pytanie: w definicji funkcji okresowej oprócz warunku \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\) jest jeszcze warunek \(\displaystyle{ x+T\in D\ \ x-T\in D}\), więc może wystarczyłoby powiedzieć, że skoro dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\), to dla każdego \(\displaystyle{ T\neq 0}\) istnieją wartości \(\displaystyle{ x\in D}\) takie, że \(\displaystyle{ x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D}\) ?

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 12:51

moglibysmy tak zrobic gdyby byla inna kolejnosc kwantyfikatorów:D tutaj mamy juz dane T ,dla którego muszą wszystkie x (nalezace do dziedziny) dawac nam żądaną rownosc:D skoro argumentacje przyjelas to znaczy ze rozwiazalismy zadanie, nie?:D
to jest moja definicja hiperboli(:P):
http://pl.wikipedia.org/wiki/Hiperbola_(matematyka)
a ta funkcje po prawej nie wiem jak nazwac w takim razie:D
ale niech bedzie hiperbola:P

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 13:23

miodzio1988 pisze:moglibysmy tak zrobic gdyby byla inna kolejnosc kwantyfikatorów:D
tu się nie zgadzam!

definicja funkcji okresowej jest taka:

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists_{t\neq 0}\forall_{x\in D}\left[x+T\in D\ \ x-T\in D\ \ f(x+T)=f(x)\right]}\)

wobec tego

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow ft(\exists_{t\neq 0}\forall_{x\in D}\left[x+T\in D\ \ x-T\in D\ \ f(x+T)=f(x)\right]\right)\Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall_{t\neq 0}\exists_{x\in D}\left[x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D\ \ f(x+T)\neq f(x)\right]\right)}\)

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 13:42

mircha pisze: więc może wystarczyłoby powiedzieć, że skoro dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\), to dla każdego \(\displaystyle{ T\neq 0}\) istnieją wartości \(\displaystyle{ x\in D}\) takie, że \(\displaystyle{ x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D}\) ?
Chcąc pokazać , ze funkcja nie jest okresowa musimy pokazac ze wszystkie 3 warunki nie zachodzą:P w zaprzeczeniu mamy alternatywe , tak?:D a kiedy alternatywa jest prawdziwa? Pomijajać jeden skladnik tej alternatywy na pewno nie pokazemy okresowosci funkcji. Gdyby tam byla koniunkcja to rozumowanie byloby wlasciwe:P

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 14:05

miodzio1988 pisze: a kiedy alternatywa jest prawdziwa?
jeśli przynajmniej jeden składnik jest prawdziwy:D
miodzio1988 pisze:Pomijajać jeden skladnik tej alternatywy na pewno nie pokazemy okresowosci funkcji.
my mamy pokazać nieokresowość:D
miodzio1988 pisze:Gdyby tam byla koniunkcja to rozumowanie byloby wlasciwe:P
właśnie wtedy trzeba byłoby pokazać spełnienie wszystkich warunków:P

miodzio1988

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 14:17

juz nie zasmiecajmy tego watku naszymi sprzeczkami:P zadanie jest rozwiazane wiec jest ok:D jak Ci się chce jeszcze klocic to na priv:D zamykamy temat:P

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

okresowość funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 14:31

nie uważam tego za kłótnię tylko za merytoryczną dyskusję i chcę wiedzieć czy mam w niej rację

z drugiej strony, mam jednak wątpliwości czy można sprawdzać warunek \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\), a jeżeli \(\displaystyle{ x+T\not\in D}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ f(x+T)}\) nie ma sensu! Dlatego wydaje mi się, że dopiero jak są spełnione warunki \(\displaystyle{ x+T\in D\ \ x-T\in D}\), można badać czy \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\)
Ostatnio zmieniony 27 gru 2008, o 14:38 przez mircha, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ