granica funkcji z logarytmem

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

granica funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 00:50

Jak obliczyć taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x }( x-2\ln x)}\)

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

granica funkcji z logarytmem

Post autor: bedbet » 27 gru 2008, o 02:03

Najszybciej z de L`Hospitala pójdzie.

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

granica funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 02:05

jasne, tylko to jest wyrażenie \(\displaystyle{ [\infty - \infty]}\) i trzeba je najpierw przekształcić, żeby skorzystać z l'Hospitala

miodzio1988

granica funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 10:16

można skorzystać z twierdzenia o dwóch funkcjach.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzeni ... %C4%85gach

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

granica funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 11:51

[quote="miodzio1988"]można skorzystać z twierdzenia o dwóch funkcjach. [/quote]
czyli pierwszą funkcją byłaby \(\displaystyle{ g(x)=x}\), a drugą \(\displaystyle{ f(x)=x-2\ln x}\) ?

no dobrze, to napiszę moją wersję i powiedzcie czy tak można (przy symbolach nieoznaczonych korzystam z l'Hospitala)

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow\infty}(x-2\ln x)=\lim_{x \rightarrow\infty}(x\cdot\ln e-2\ln x)= \lim_{x \rightarrow\infty}(\ln e^x-\ln x^2)=\lim_{x \rightarrow\infty}\left(\ln\frac{e^x}{x^2}\right)=\ln\left(\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^2}\right)\stackrel{l'H}{=}\ln\left(\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{e^x}{2x}\right)\stackrel{l'H}{=}\ln\left(\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{e^x}{2}\right)=[\ln (\infty)]=\infty}\)
Ostatnio zmieniony 27 gru 2008, o 12:00 przez mircha, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

granica funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 11:58

pierwszego przejścia nie rozumiem, skad tam sie wziął lnx * x?
a z twierdzenia o 2 funkcjach: nasza funkcja to x-2lnx. Teraz szukamy innej takiej funkcji aby tą naszą funkcję ograniczyć z gory /dolu( zalezy czy chcemy pokazac ze nasza funkcja zbiega do + czy - ). Jesli taka znajdziemy to mozemy skorzystac z tw. o dwoch funkcjach. Skorzystaj z nierownosci lnx
Ostatnio zmieniony 27 gru 2008, o 12:01 przez miodzio1988, łącznie zmieniany 1 raz.

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

granica funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 12:00

miodzio1988 pisze:pierwszego przejścia nie rozumiem, skad tam sie wziął lnx przed x?
miał być oczywiście \(\displaystyle{ \ln e}\) - już poprawiłam

miodzio1988

granica funkcji z logarytmem

Post autor: miodzio1988 » 27 gru 2008, o 12:03

tak też można:D jest dobrze:D

mircha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 gru 2008, o 00:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

granica funkcji z logarytmem

Post autor: mircha » 27 gru 2008, o 12:04

OK:) dzięki

ODPOWIEDZ