Wyznacz sume pierwiastków oraz ich iloczyn

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
fiolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 13 paź 2008, o 19:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz sume pierwiastków oraz ich iloczyn

Post autor: fiolek » 26 gru 2008, o 11:39

Równanie z niewiadomą x postaci \(\displaystyle{ x^4 +mx^2 + n=0}\) ma 4 rózne pierwiastki. Wyznacz sume tych pierwiastków oraz ich iloczyn.

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

Wyznacz sume pierwiastków oraz ich iloczyn

Post autor: sea_of_tears » 26 gru 2008, o 11:56

\(\displaystyle{ x^4+mx^2+n=0\newline
t^2+mt+n=0\newline
x_1=\sqrt{t_1}\newline
x_2=-\sqrt{t_1}\newline
x_3=\sqrt{t_2}\newline
x_4=-\sqrt{t_2}\newline
\newline
x_1+x_2+x_3+x_4=\sqrt{t_1}+(-\sqrt{t_1})+\sqrt{t_2}+(-\sqrt{t_2})=0\newline
x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=\sqrt{t_1}\cdot (-\sqrt{t_1})\cdot\sqrt{t_2}\cdot (-\sqrt{t_3})=
-t_1\cdot (-t_2)=t_1\cdot t_2=\frac{c}{a}=\frac{n}{1}=n}\)


oczywiście wszystko zachodzi przy odpowiednich założenia :
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\Delta>0 \\
t_1\cdot t_2>0 \\
t_1+ t_2>0 \\
t_1 t_2
\end{cases}}\)

ODPOWIEDZ