układ równań różniczkowych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

układ równań różniczkowych

Post autor: qaz » 25 gru 2008, o 21:08

Mam układ równań różniczkowych:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}-x-5y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}+x+3y=0}\)
w zależności od sposobu rozwiązania otrzymuję takie wyniki:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ x=e^{-t}(A\cos{t}+B\sin{t})}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{5} e^{-t}[(B-2A)\cos{t}-(A+2B)\sin{t}]}\)

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{-t}(C_1\cos{t}+C_2\sin{t})}\)
\(\displaystyle{ x=-2e^{-t}(C_1\cos{t}+C_2\sin{t})+e^{-t}(C_1\sin{t}-C_2\cos{t})}\)

\(\displaystyle{ A, B, C_1, C_2}\) - stałe

Pierwszy mi się zgadza z odpowiedziami w książce, a drugi sprawdzałam podstawiając. Problem w tym, że wyglądają całkiem inaczej. Jak to pokazać, że są sobie równoważne

Awatar użytkownika
Vigl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 28 wrz 2007, o 12:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno/Kraków
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 67 razy

układ równań różniczkowych

Post autor: Vigl » 25 gru 2008, o 22:35

qaz pisze:Jak to pokazać, że są sobie równoważne
Pogrupuj sobie i pamiętaj o zupełnej dowolności stałych. Na przykład biorąc drugie:
z \(\displaystyle{ y(t)}\) od razu widać, że jest takie samo jak w punkcie 1.
\(\displaystyle{ x(t)=e^{-t}(A-B)cost+e^{-t}(C+D)sint=\alpha e^{-t}cost-\beta e^{-t}sint}\) - a to jest tożsame z pierwszym. (Wszystkie literki, których użyłem to oczywiście stałe i to wcale nie związane z tymi użytymi przez Ciebie - alfabetu by mi zabrakło, jakbym się silił na inne oznaczenia.)

ODPOWIEDZ