[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne

Post autor: patry93 » 24 gru 2008, o 21:08

Witam.

1) W czworokącie ABCD zachodzi równość \(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD}\). Udowodnić, że okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ACD.

2) W trójkącie równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\) zawarty jest sześciokąt foremny o boku \(\displaystyle{ b}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ a qslant 3b}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne

Post autor: limes123 » 24 gru 2008, o 22:21

1. ABCD jest opisany na okregu. Narysuj sobie najpierw sytuacje, ze jest czworokat i te dwa okregi wpisane w te dwa trojkaty sa styczne (z tego wywnioskuj, ze czworokat tez jest wtedy opisany). Pozniej cos pokombinuj przez sprzecznosc moze.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne

Post autor: anna_ » 25 gru 2008, o 00:33

Zadanie 1.

rysunek
Trójkąt ABC (niebieski okrąg)
|AB|=z+x
|BC|=x+y
|AC|=z+y
Trójkat ACD (czerwony okrąg)
|AC|=v+t
|DC|=u+t
|AD|=v+u
Wystarczy udowodnić, że y=t i z=v. Wtedy punkt E będzie wspólnym punktem styczności dla obu okręgów.
Z warunków zadania:
z+x+u+t=x+y+v+u
z+t=y+v
ale
|AC|=z+y
|AC|=v+t
czyli
z+y=v+t

\(\displaystyle{ \begin{cases} z+t=y+v \\ z+y=v+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=t \\ z=v \end{cases}}\)

[ Dodano: 25 Grudnia 2008, 16:21 ]
Zadanie 2.
rysunek
Największy okręgiem, który da się wpisać w trójkąt równoboczny i na którym można opisać sześciokąt foremny należacy do trójąta, jest okrąg o promieniu
\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
Wysokości trójkątów równobocznych, z których zbudowany jest sześciokąt są równe
\(\displaystyle{ h= \frac{b \sqrt{3} }{a}}\)
Aby sześciokąt zawarty był w trójkącie
\(\displaystyle{ r qslant h\\
\frac{a \sqrt{3} }{6} qslant \frac{b \sqrt{3} }{2}\\
a qslant 3b}\)

ODPOWIEDZ