[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków

Post autor: emator2 » 24 gru 2008, o 17:17

Danych jest siedem odcinków o długościach należących do przedziału \(\displaystyle{ }\). Wykaż, że wśród nich są takie trzy, które są bokami trójkąta.

Wiadomo nierówność trójkąta i ZSD. Nie wiem tylko jak to ładnie zapisać. Ma ktoś jakiś pomysł?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków

Post autor: Sylwek » 24 gru 2008, o 23:08

\(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_7}\)

nie wprost, wówczas każda z tych nierówności jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ a_3 \ge a_2+a_1 \\ a_4 \ge a_3+a_2 \\ a_5 \ge a_4 + a_3 \\ a_6 \ge a_5+a_4 \\ a_7 \ge a_6+a_5}\)

po dodaniu stronami i redukcji wyrazów podobnych:
\(\displaystyle{ a_7 \ge a_5+a_4+a_3+2a_2+a_1 \ge (a_4+a_3)+(a_3+a_2)+(a_2+a_1)+2a_2+a_1 \\ \ge a_4+2a_3+4a_2+2a_1 \ge (a_3+a_2)+2(a_2+a_1)+4a_2+2a_1 =a_3 + 7a_2 + 4a_1 \ge 8a_2+5a_1 \ge 13}\)

sprzeczność

ogólnie tą górną granicę można podwyższyć do 13 - w tym ciągu nierówności jest pewne podobieństwo z ciągiem Fibonacciego, jak chcesz, możesz to przemyśleć

Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków

Post autor: emator2 » 25 gru 2008, o 01:02

Dzięki.

ODPOWIEDZ