iloczyn sinusów katów ostrych

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
katrin_17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 26 kwie 2008, o 14:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gorlice/Kraków
Podziękował: 23 razy

iloczyn sinusów katów ostrych

Post autor: katrin_17 » 24 gru 2008, o 09:42

w pewnym trojkącie prostokątnym suma cosinusów katów ostrych jest równa \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) oblicz iloczyn sinusów tycch kątów.

odp. \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

iloczyn sinusów katów ostrych

Post autor: sea_of_tears » 24 gru 2008, o 10:08

\(\displaystyle{ cos\beta +cos\gamma =\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+cos(90^{o}-\beta)=\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+sin\beta=\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+sin\beta=\frac{2\sqrt3}{3} /^2\newline
cos^2\beta+2cos\beta sin\beta + sin^2\beta = \frac{4}{3}\newline
1+2sin\beta cos\beta = \frac{4}{3}\newline
2sin\beta cos\beta = \frac{1}{3}\newline
sin(2\beta)=\frac{1}{3}\newline
\newline
sin\beta\cdot sin\gamma=\newline
sin\beta\cdot sin(90^{o}-\beta)=\newline
=sin\beta \cdot cos\beta=\newline
=sin\beta \cdot cos\beta=\frac{1}{2}\cdot 2sin\beta cos\beta=\frac{1}{2}\cdot sin(2\beta)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 6 lut 2009, o 12:43 przez sea_of_tears, łącznie zmieniany 2 razy.

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

iloczyn sinusów katów ostrych

Post autor: JankoS » 26 gru 2008, o 13:27

sea_of_tears pisze:\(\displaystyle{ cos90^{o}+cos\beta+cos(90^{o}-\beta)=\frac{2\sqrt3}{2}\newline}\)
Chyba to nie ma wpływu na rozwiązanie, ale kąt prosty, to... kąt prosty. nie wstawiałbym go do tej równości.

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

iloczyn sinusów katów ostrych

Post autor: sea_of_tears » 26 gru 2008, o 13:29

faktycznie, przeoczyłam ten fakt, ale wpływu na rozwiazanie nie ma to żadnego już poprawiam odpowiedź

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 756
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 84 razy

iloczyn sinusów katów ostrych

Post autor: Elvis » 26 gru 2008, o 18:01

Sinus jednego z tych kątów to cosinus drugiego.
\(\displaystyle{ (\sin + \cos )^2 = (\frac{2 \sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4}{3} \\
(\sin + \cos )^2 = \sin ^2 + \cos ^2 + 2 \sin \cos = 1 + 2 \sin \cos }\)

Stąd \(\displaystyle{ \sin \cos = \frac{1}{6}}\).

ODPOWIEDZ