podzielna przez 36

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
nogiln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 891
Rejestracja: 17 mar 2008, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mysłaków
Podziękował: 190 razy
Pomógł: 4 razy

podzielna przez 36

Post autor: nogiln » 23 gru 2008, o 22:34

Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ m C}\), to \(\displaystyle{ m ^{6}-2m ^{4} + m ^{2}}\) jest podzielne przez 36.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

podzielna przez 36

Post autor: Justka » 23 gru 2008, o 22:41

\(\displaystyle{ ...=m^2(m^4-2m^2+1)=m^2(m^2-1)^2=(m-1)^2m^2(m+1)^2=[(m-1)m(m+1)]^2}\)

Liczba w nawiasie kwadratowym (iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych) jest podzielna przez 6, a ponieważ mamy do czynienia z kwadratem tej liczby to \(\displaystyle{ 6^2=36}\), czyli \(\displaystyle{ 36|m^6-2m^4+m^2}\)
Ostatnio zmieniony 23 gru 2008, o 22:45 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

podzielna przez 36

Post autor: Artist » 23 gru 2008, o 22:45

\(\displaystyle{ ...=m^{2}*(m^{4}-2m^{2}+1)=m^{2}*(m^{2}-1)^{2}=[m*(m^{2}-1)]^{2}}\)

Wystarczy zatem wykazać,że \(\displaystyle{ m*(m^{2}-1)=m*(m-1)(m+1)}\) jest podzielne przez 6 (bo potem podnosimy to do kwadratu).

Wystarczy zauważyć, że wśród trzech kolejnych liczb jest co najmniej jedna parzysta i dokładnie jedna podzielna przez 3.

nogiln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 891
Rejestracja: 17 mar 2008, o 17:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mysłaków
Podziękował: 190 razy
Pomógł: 4 razy

podzielna przez 36

Post autor: nogiln » 23 gru 2008, o 23:10

Justka, co to za własność(iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych)?

Popiolkas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 6 razy

podzielna przez 36

Post autor: Popiolkas » 23 gru 2008, o 23:34

to ze iloczyn KAŻDYCH trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6, poniewaz conajmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 i jedna jest podzielna przez 3, zatem iloczyn podzielnej przez 2 i podzielnej przez 3 jest podzielny przez 6. POzdrawiam

ODPOWIEDZ