Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

[camillus1989]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{sin(nx)}{n ^{2} }}\)
1.kryterium porównawcze(ilorazowe) z \(\displaystyle{ \frac{1}{n ^{2} }}\)
2. Później liczę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } sin(nx)}\)
3. Ile wynosi granica sin(nx)?? z tego co pamiętam sinx nie ma granicy wiec sin(nx) też nie bedzie miał??

[Wasilewski]

Owszem, zatem trzeba to zrobić inaczej. Najpierw pokaż, że ciąg sum częściowych szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony. Wtedy zbieżność wyjściowego szeregu wynika z kryterium Dirichleta.

[camillus1989]

Dzięki, za odpowiedź ale mam pytanko mógłbyś to rozpisać bo za bardzo tego kryterium nie rozumiałem. odnośnie tego przykładu.

[Wasilewski]

Istnieje jakiś wzór na sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
Na jego podstawie można pokazać, że te sumy dla dowolnego M są jakoś ograniczone. Natomiast ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n^2}}\) jest malejący i zbieżny do zera, zatem na mocy kryterium Dirichleta zbieżny będzie szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx) \frac{1}{n^2}}\)

[camillus1989]

Dzięki, już trochę mi się rozjaśniło w głowie.