Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
camillus1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 14 lis 2008, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Post autor: camillus1989 » 23 gru 2008, o 14:37

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{sin(nx)}{n ^{2} }}\)
1.kryterium porównawcze(ilorazowe) z \(\displaystyle{ \frac{1}{n ^{2} }}\)
2. Później liczę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } sin(nx)}\)
3. Ile wynosi granica sin(nx)?? z tego co pamiętam sinx nie ma granicy wiec sin(nx) też nie bedzie miał??

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Post autor: Wasilewski » 23 gru 2008, o 14:42

Owszem, zatem trzeba to zrobić inaczej. Najpierw pokaż, że ciąg sum częściowych szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony. Wtedy zbieżność wyjściowego szeregu wynika z kryterium Dirichleta.

Awatar użytkownika
camillus1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 14 lis 2008, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Post autor: camillus1989 » 23 gru 2008, o 14:56

Dzięki, za odpowiedź ale mam pytanko mógłbyś to rozpisać bo za bardzo tego kryterium nie rozumiałem. odnośnie tego przykładu.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Post autor: Wasilewski » 23 gru 2008, o 15:02

Istnieje jakiś wzór na sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
Na jego podstawie można pokazać, że te sumy dla dowolnego M są jakoś ograniczone. Natomiast ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n^2}}\) jest malejący i zbieżny do zera, zatem na mocy kryterium Dirichleta zbieżny będzie szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx) \frac{1}{n^2}}\)

Awatar użytkownika
camillus1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 14 lis 2008, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Dokończyć rozumowanie(zbieżność szeregów)

Post autor: camillus1989 » 23 gru 2008, o 15:12

Dzięki, już trochę mi się rozjaśniło w głowie.

ODPOWIEDZ