Pierwiastki wielomianu będące wyrazami ciągu arytmetycznego.

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Pierwiastki wielomianu będące wyrazami ciągu arytmetycznego.

Post autor: MakCis » 23 gru 2008, o 13:44

1. Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ x^4 - (3k+2)x^2 + k^2 = 0}\) ma co najmniej trzy różne pierwiastki które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

Ułożyłem następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(x-p)(x-q)(x-r) = 0 \\ q-p=r-q \\ x^4 - (3k+2)x^2+k^2 = 0 \end{cases}}\)

p,q,r są pierwiastkami wielomianu, równanie pierwsze jest wielomianem 4 stopnia.

Najpierw z drugiego równania wyznaczyłęm r i podstawiłem do pierwszego. Wymnożyłem następnie wszystkie nawiasy i zredukowałem wyrazy, otrzymując ostatecznie:

\(\displaystyle{ x^4 - 3qx^3 + (2q^2+2pq)x^2 - 2pq^2x = 0}\)

Przyrównałem następnie odpowiednie wyraz (przy odpowiednich współczynnikach) z równaniem trzecim, otrzymując nowy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3q=0 \\ -(3k+2)=2q^2+2pq \\ -2pq^2=0 \\ k^2=0 \end{cases}}\)

Z równania pierwszego i trzeciego wynika że p i q są równe zeru. Zatem z równania 2 wyliczam k:

\(\displaystyle{ -3k - 2 =0 k = - \frac{2}{3}}\) i z równania 4 od razu widać że \(\displaystyle{ k = 0}\)

W odpowiedziach zaś mam coś takiego:

\(\displaystyle{ k { - \frac{6}{19};0;6 }}\)

Co robię źle?

grejon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 8 lis 2008, o 09:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 22 razy

Pierwiastki wielomianu będące wyrazami ciągu arytmetycznego.

Post autor: grejon » 24 gru 2008, o 23:29

MakCis pisze:1. Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ x^4 - (3k+2)x^2 + k^2 = 0}\) ma co najmniej trzy różne pierwiastki które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

Ułożyłem następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(x-p)(x-q)(x-r) = 0 \\ q-p=r-q \\ x^4 - (3k+2)x^2+k^2 = 0 \end{cases}}\)

Co robię źle?
Założyłeś, że 0 jest jednym z pierwiastków wielomianu.

frej

Pierwiastki wielomianu będące wyrazami ciągu arytmetycznego.

Post autor: frej » 25 gru 2008, o 15:19

Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ W(x)=0}\) to też \(\displaystyle{ W(-x)=0}\).
Żeby były trzy co najmniej trzy pierwiastki różne kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to
\(\displaystyle{ 1^\circ}\)
Są dokładnie trzy pierwiastki, więc jednym z nich musi być \(\displaystyle{ 0}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ W(0)=0 \Leftrightarrow k^2=0}\)
Wzór wielomianu wygląda tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^2}\)

Łatwo teraz stwierdzić, że te pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny.

\(\displaystyle{ 2^\circ}\)
Są cztery pierwiastki \(\displaystyle{ -b,-a,a,b \quad a,b >0}\)
I teraz znowu dwa przypadki
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ b,a}\) są w tym ciągu arytmetycznym
Jeśli \(\displaystyle{ -a}\) jest, to \(\displaystyle{ -b}\) też.
Jeśli \(\displaystyle{ -a}\) nie jest, to \(\displaystyle{ -b}\) też nie jest, bo \(\displaystyle{ a+b>a-b}\) (różnica między kolejnymi wyrazami )

Różnicą (czyli \(\displaystyle{ r}\) ) jest więc \(\displaystyle{ a-(-a)=2a}\)
Wyrazy ciągu wyglądają tak:
\(\displaystyle{ -3a,-a,a,3a}\)
Podstawić i policzyć i sprawdzić, czy rzeczywiście są cztery pierwiastki, to robiliśmy implikację, tzn
jeśli są 4 pierwiastki, to jest tak i tak

\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ b,a}\) nie są w ciągu, jest tylko jeden z nich. Pozostałe dwa musiałby więc być, ale przecież \(\displaystyle{ b-a=-a-(-b)}\), więc jeśli tylko jeden z tych dodatnich pierwiastków byłby w tym ciągu, to mamy sprzeczność. Oczywiście jak żaden z dodatnich nie jest w ciągu, to też oczywiście nie zachodzi.

ODPOWIEDZ