[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
qwass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 lut 2008, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nikąd
Podziękował: 33 razy

[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

Post autor: qwass » 23 gru 2008, o 13:37

Rozwiazać w liczbach całkowitych układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=24\\
a^2+b^2+c^2=526\\
abc=440}\)

chris139
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 326
Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 122 razy

[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

Post autor: chris139 » 23 gru 2008, o 13:51

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)

Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)

Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

Post autor: max » 23 gru 2008, o 18:01

Szukamy pierwiastków całkowitych, więc nie ma sensu katować się Cardanem, lepiej posprawdzać dzielniki \(\displaystyle{ 440}\) (patrz tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych).

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 gru 2008, o 18:03

chris139 pisze:\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)

Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)

Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu
Albo wystarczy dokładniej przeczytać zadanie...
Metoda wielomianu pomocniczego jest standardowa i tu się przydaje, należy jeszcze pomyśleć jakie warunki musi spełniać potencjalna liczba całkowita aby być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych

EDIT: Się spóźniłem...

ODPOWIEDZ