całka nieoznaczona
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
całka nieoznaczona
Trochę przekształceń na początek:
\(\displaystyle{ tgx + ctgx = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sin^2x+cos^2x}{sinx cosx} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin2x}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(\frac{1}{2}sin2x)^2} = t \frac{dx}{\frac{1}{4}sin^22x} = \begin{bmatrix} 2x = t \\ dx = \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = 4 t \frac{\frac{1}{2}dt}{sin^2t} = \\ = 2 t \frac{dt}{sin^2t} = -2 ctgt + C = -2 ctg2x + C}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ tgx + ctgx = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sin^2x+cos^2x}{sinx cosx} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin2x}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(\frac{1}{2}sin2x)^2} = t \frac{dx}{\frac{1}{4}sin^22x} = \begin{bmatrix} 2x = t \\ dx = \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = 4 t \frac{\frac{1}{2}dt}{sin^2t} = \\ = 2 t \frac{dt}{sin^2t} = -2 ctgt + C = -2 ctg2x + C}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 16 paź 2007, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mazury
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1 raz
całka nieoznaczona
Dziekuje za zainteresowanie.
wynik wyszedl mi taki sam rozwiazujac przez calkowanie bezposrednie (zapomnialem o tym napisac), ale w odpowiedziac jest cos takiego \(\displaystyle{ tgx-ctx +C}\)
i to mnie zastanawialo, dlatego dodalem ten przyklad tutaj.
ale skoro wyszlo nam tak samo stosujac inne metody, to widocznie to jest dobry wynik, moze po przeksztalceniu tego\(\displaystyle{ ctg2x}\) wyjdzie to samo. Albo co tez czasem sie zdarza w odpowiedziach jest bład
Dzieki jeszcze raz
wynik wyszedl mi taki sam rozwiazujac przez calkowanie bezposrednie (zapomnialem o tym napisac), ale w odpowiedziac jest cos takiego \(\displaystyle{ tgx-ctx +C}\)
i to mnie zastanawialo, dlatego dodalem ten przyklad tutaj.
ale skoro wyszlo nam tak samo stosujac inne metody, to widocznie to jest dobry wynik, moze po przeksztalceniu tego\(\displaystyle{ ctg2x}\) wyjdzie to samo. Albo co tez czasem sie zdarza w odpowiedziach jest bład
Dzieki jeszcze raz
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
całka nieoznaczona
\(\displaystyle{ ctg2x = \frac{cos2x}{sin2x} = \frac{cos^2x-sin^2x}{2sinxcosx} = \frac{cos^2x}{2sinxcosx}-\frac{sin^2x}{2sinxcosx} = \frac{cosx}{2sinx}-\frac{sinx}{2cosx} = \frac{1}{2}(ctgx-sinx)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ -2ctg2x + C = -2 \cdot \frac{1}{2} (ctgx-tgx) + C = tgx - ctgx + C}\)
Również niegłupim pomysłem jest ściągnięcie programu do rysowania wykresów funkcji (sam używam Advanced Grapher'a) i wklepać tam oba otrzymane wyniki - jeśli wykresy tych funkcji się pokrywają, znaczy, że wyniki są tożsame.
Pozdrawiam.
Stąd
\(\displaystyle{ -2ctg2x + C = -2 \cdot \frac{1}{2} (ctgx-tgx) + C = tgx - ctgx + C}\)
Również niegłupim pomysłem jest ściągnięcie programu do rysowania wykresów funkcji (sam używam Advanced Grapher'a) i wklepać tam oba otrzymane wyniki - jeśli wykresy tych funkcji się pokrywają, znaczy, że wyniki są tożsame.
Pozdrawiam.