Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: MakCis » 22 gru 2008, o 13:43

1. Suma logarytmów o podstawie 2 trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 9. Znajdź sumę wyrazów tego ciągu wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy 16.

2. Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz poczynając od trzecuego jest równy połowie sumy dwóch poprzednich.

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: Sherlock » 22 gru 2008, o 14:07

1.

\(\displaystyle{ log_{2}16+log_{2}16q+log_{2}16q^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ 4+log_{2}16q 16q^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ log_{2}256q^{3}=5}\)
\(\displaystyle{ log_{2}256+log_{2}q^{3}=5}\)
\(\displaystyle{ 8+log_{2}q^{3}=5}\)
\(\displaystyle{ log_{2}q^{3}=-3}\)
\(\displaystyle{ log_{2}q^{3}=log_{2} \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ q^{3}=\frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{1}{2}}\)

no i do \(\displaystyle{ S=\frac{a_1}{1-q}}\)...

MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: MakCis » 22 gru 2008, o 14:28

No tak, ale pierwszy wyraz ciągu jest przecież równy 16 co odpowiada liczbie \(\displaystyle{ \log_22^{16}}\) a nie \(\displaystyle{ \log_216}\)

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: Sherlock » 22 gru 2008, o 14:41

MakCis pisze:No tak, ale pierwszy wyraz ciągu jest przecież równy 16 co odpowiada liczbie \(\displaystyle{ \log_22^{16}}\) a nie \(\displaystyle{ \log_216}\)
pierwszym wyrazem ciągu jest 16, w zadaniu sumuję logarytmy wyrazów ciągu zatem \(\displaystyle{ log_{2}a_{1}=log_{2}16}\)

MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: MakCis » 22 gru 2008, o 14:43

Nie rozumiem tego niestety nadal...

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: Sherlock » 22 gru 2008, o 14:51

Z zadania nie wynika, że wyrazy ciągu są logarytmami. Może tak...

Masz jakiś ciąg geometryczny o pierwszych trzech wyrazach a, b i c:

- suma logarytmów (przy podstawie 2) tych trzech wyrazów = \(\displaystyle{ log_{2}a+log_{2}b+log_{2}c}\)
- suma kwadratów tych trzech wyrazów = \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\)
- suma odwrotności tych trzech wyrazów = \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}\) itd.

MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: MakCis » 22 gru 2008, o 15:03

no dobra niech będzie. A wiesz moze jak zrobić to drugie zadanie?

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Suma logarytmów i ciągu geometrycznego

Post autor: Sherlock » 22 gru 2008, o 16:35

2.

\(\displaystyle{ a_{n+2}= \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a_{1}q^{n+1}=a_{1}q^{n}+a_{1}q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 2a_{1}q^{n} q=a_{1}q^{n}+a_{1}q^{n} \frac{1}{q}}\)
\(\displaystyle{ 2q=1+ \frac{1}{q}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2q^{2}-q-1}{q}=0}\)

\(\displaystyle{ 2q^{2}-q-1=0}\)

\(\displaystyle{ q=1}\) stały ciąg np. \(\displaystyle{ a_{n}=5,5,5,5...}\)

lub

\(\displaystyle{ q= - \frac{1}{2}}\) np. \(\displaystyle{ a_{n}=1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}...}\)

Rozwiązaniem są wszystkie ciągi geometryczne o ilorazie \(\displaystyle{ q=1}\) lub \(\displaystyle{ q= - \frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ