ciekawy dowód

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 837
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

ciekawy dowód

Post autor: pelas_91 » 22 gru 2008, o 12:41

Udowodnij, że dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów leżących na płaszczyźnie, z których żadne dwa nie lażą na prostej prostopadłej do osi Ox, istnieje dokładnie jeden trójmian kwadratowy, taki że jego wykres przechodzi przez te punkty.

Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

ciekawy dowód

Post autor: Yaco_89 » 22 gru 2008, o 12:59

Ja bym to ugryzł w ten sposób: jak wiadomo trójmian kwadratowy jest postaci ax^2+bx+c, załóż że masz dane współrzędne 3 punktów i spróbuj ułożyć układ równań z niewiadomymi a, b i c i zbadać ilość rozwiązań. to taki pomysł na szybko bo nie próbowałem tego dokładnie przeliczać, ale może zadziała Pozdro tyszanin

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

ciekawy dowód

Post autor: » 22 gru 2008, o 13:28

Istnienie
Przez punkty \(\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)}\) (spełniające żądane warunki) przechodzi trójmian kwadratowy:
\(\displaystyle{ f(x) = y_1\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} + y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} +
y_3\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}\)


Jednoznaczność
Jeśli przez dane trzy punkty przechodzą dwa trójmiany \(\displaystyle{ f,g}\), to wtedy wielomian \(\displaystyle{ (f-g)}\) jest stopnia co najwyżej drugiego, oraz ma trzy pierwiastki (\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\)). Stąd musi być wielomianem stale równym zero, czyli \(\displaystyle{ f=g}\).

Uwaga: twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych wielomianów, nie tylko dla trójmianów kwadratowych, tzn. przez \(\displaystyle{ n+1}\) punktów o żądanych własnościach przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\). Dowód analogiczny.

Q.

Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 837
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

ciekawy dowód

Post autor: pelas_91 » 23 gru 2008, o 01:09

Yaco_89, też o tym myślałem kolego z Tych, ale z układu nie wiem jakim cudem wychodzą dość dziwne herezje...
, skąd ten wzór?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

ciekawy dowód

Post autor: » 23 gru 2008, o 01:37

[quote="pelas_91"], skąd ten wzór?[/quote]
Ten wzór to królik wyciągnięty z kapelusza, w samym rozwiązaniu nie trzeba się tłumaczyć z takich sztuczek ;>.

A ów królik to po prostu wzór interpolacyjny Lagrange'a.

Q.

Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 837
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

ciekawy dowód

Post autor: pelas_91 » 23 gru 2008, o 02:52


To jest zadanie ze zbioru zadań dla klasy II LO w temacie będącym wstępem do wielomianów. Na tym etapie przeciętny uczeń nie zna takich wzorów a mimo to autorzy zbioru umieścili zadanie w tym temacie Na pewno da sie to jakoś inaczej zrobić, tylko jak xD

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

ciekawy dowód

Post autor: » 23 gru 2008, o 03:17

Rzeczony wzór można wyprowadzić rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\
ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\
ax_3^2+bx_3+c=y_3 \end{cases}}\)


Q.

ODPOWIEDZ