zamiana całki podwójnej na pojedyńczą

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
klementa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 2 gru 2007, o 15:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy

zamiana całki podwójnej na pojedyńczą

Post autor: klementa » 19 gru 2008, o 20:27

Za pomocą współrzędnych biegunowych zamienić całkę podwójną na pojedyńczą
\(\displaystyle{ \int_{G}^{} f( \sqrt{x^2 + y^2)}dxdy, G=\{|y| qslant |x|; |x| qslant 1 \}}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

zamiana całki podwójnej na pojedyńczą

Post autor: soku11 » 20 gru 2008, o 02:11

Nie za bardzo wiem, jakim cudem mozna zamienic taka calke podwojna na pojedyncza (przeciez calka pojedyncza sluzy do obliczania pol, a nie objetosci po danej funkcji tak jak tutaj...) Ja bym to rozwiazal tak:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\iint_{G} f(\sqrt{x^2+y^2})\mbox{d}x\mbox{d}y=
4\iint_{D} f(\sqrt{x^2+y^2})\mbox{d}x\mbox{d}y\\
D:\;\begin{cases}
0\le x\le 1\\
0\le y\le x
\end{cases}\\
\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\rho\sin\varphi\le \rho\cos\varphi\\
\sin\varphi\le\cos\varphi\\
\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]\\
\rho\cos\varphi\le 1\\
\rho\le \frac{1}{\cos\varphi}\\
\rho\in\left[0;\frac{1}{\cos\varphi}\right]\\
\mathcal{I}=
4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mbox{d}\varphi
t\limits_{0}^{\frac{1}{\cos\varphi}}\rho f(\rho)\mbox{d}\rho}\)


Wydaje mi sie, ze tak jest ok. Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ