Matematyka.pl

Witam! Mam problem z następującym zadaniem:

Moment bezwładności ciała o masie \(\displaystyle{ m}\) względem pewnej osi przechodzącej przez jego środek masy wynosi \(\displaystyle{ I_{0}}\) . Znajdź oś do niej równoległą, względem której małe drgania tego ciała będą miały najkrótszy okres. Oblicz jego wartość.

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

Wydaje się, że rozwiązanie będzie takie:

\(\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{mgx} }}\), gdzie I to moment bezwładności liczony względem osi obrotu ciała, a x to odległość osi obrotu od środka masy ciała.

Z twierdzenia Steinera mamy, że \(\displaystyle{ I = I_0 + mx^2}\), podstawiając to do równania na okres drgań mamy
\(\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I_0+mx^2}{mgx} }}\)

Obliczasz teraz dT(x)/dx i przyrównujesz do zera, wyznaczając tym samym x dla którego okres drgań będzie miał najmniejszą wartość.

Właściwie z tw. Steinera mamy: \(\displaystyle{ I = I_0 + mx^2}\).

A sam \(\displaystyle{ x}\), dla którego okres drgań jest najmniejszy można szybko wyliczyć szacując to co jest pod pierwiastkiem stosując nierówność AM-GM i sprawdzając kiedy zachodzi równość ;].

No mamy oczywiście to co napisałeś. Pomyłka się wkradła.