odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
adacho90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 24 cze 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 41 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: adacho90 » 19 gru 2008, o 19:26

Środek okręgu, wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 5 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole trapezu.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23175
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: piasek101 » 19 gru 2008, o 20:46

Możesz poszukać - było wielokrotnie.

Idzie z tego , że trójkąt : dwa dane odcinki, dłuższe ramię jest prostokątny.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 21:16

Masz może do tego odpowiedź, bo wyszła mi jakaś dziwna liczba \(\displaystyle{ \frac{6760}{89}}\)

Kapol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TM
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 15 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: Kapol » 19 gru 2008, o 21:46


najpierw przydało by się udowodnić że trójkąt \(\displaystyle{ OBC}\) jest prostokątny:
Trapez jest czworokątem więc suma kątów wynosi 360, jak się odejmie 2 kąty proste zostanie 180
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 180 ^{o}}\)
Dlatego że te odległości są dwusiecznymi kątów alfa i beta wynika:
\(\displaystyle{ \left| OCB \right| = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \left| OBC \right| = \frac{1}{2} \beta}\)

\(\displaystyle{ \left| COB \right| = 180 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \beta}\)
\(\displaystyle{ \left| COB \right| = 180 - 90}\)
\(\displaystyle{ \left| COB \right| = 90 ^{o}}\)

Kolejno trójkąty BCO, FCO są podobne ponieważ:

\(\displaystyle{ \left| OCB \right| = ft| OCF \right| = \frac{1}{2} ft| BOC \right| = ft| OFC \right| = 90 ^{o}}\)

Dalej trókąty BCO, EBO są podobne ponieważ:

\(\displaystyle{ \left| OBC \right| = ft| OCE \right| = \frac{1}{2} ft| BOC \right| = ft| OEB \right| = 90 ^{o}}\)

Następnie z talesa:

\(\displaystyle{ \frac{\left| EO \right|}{ ft| OB \right|} = \frac{\left| OC\right|}{ ft| BC \right|}}\)

i tak samo ten na górze trójkąt:

\(\displaystyle{ \frac{\left| FO \right|}{ ft| OC \right|} = \frac{\left| OB\right|}{ ft| BC \right|}}\)

będziesz miał wystarczająco danych do obliczenia pól tych 3 trójkątów.
Potem wystarczy dodać 2 kwadraty o boku \(\displaystyle{ \left| EO \right|}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2008, o 22:08 przez Kapol, łącznie zmieniany 3 razy.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 21:55


No właśnie. Tyle, że potem \(\displaystyle{ |CB|= \sqrt{89}}\)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23175
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: piasek101 » 19 gru 2008, o 21:59

nmn pisze:Masz może do tego odpowiedź, bo wyszła mi jakaś dziwna liczba \(\displaystyle{ \frac{6760}{89}}\)
Mam tak samo (teraz robiłem).

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 22:00

No to ma rysunek i odpowiedź.
Jak myślicie starczy?

Kapol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TM
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 15 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: Kapol » 19 gru 2008, o 22:03

I jeszcze mały dowodzik w moim poście powyżej.
A co do wyniku, to się zgadzam:
Wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{6760}{89}}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2008, o 22:16 przez Kapol, łącznie zmieniany 2 razy.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 22:10

Dopiszę mu jeszcze układ i wzór na pole.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)^2=5^2+8^2 \\ x^2+r^2=8^2 \\ y^2+r^2=5^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{(r+x+r+y) 2r}{2}\\
P=(x+y+2r)r}\)

Kapol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TM
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 15 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: Kapol » 19 gru 2008, o 22:19

Jest jeszcze jeden sposób.
\(\displaystyle{ P _{COB}=P _{OBE} + P _{OCF}}\)
\(\displaystyle{ P _{ABCD} =2 r ^{2} + 2 P _{COB}}\)
\(\displaystyle{ P _{COB} = \frac{5 8}{2}}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{40 \sqrt{89} }{89}}\)
\(\displaystyle{ P _{ABCD}= \frac{3200}{89}+40= \frac{6760}{89}}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2008, o 23:07 przez Kapol, łącznie zmieniany 3 razy.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 22:31

....
Ostatnio zmieniony 19 gru 2008, o 23:14 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.

Kapol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TM
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 15 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: Kapol » 19 gru 2008, o 22:39

\(\displaystyle{ P _{ABCD}=2 r ^{2} + 2 P _{BOC}}\)
Jak podstawisz, to wyjdzie to co powyżej.
Ten sposób jest krótszy, ale wymaga kolejnego dowodu.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: anna_ » 19 gru 2008, o 22:39

..Skasuj posta z Dzisiaj 23:08
Ostatnio zmieniony 19 gru 2008, o 23:21 przez anna_, łącznie zmieniany 3 razy.

Kapol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TM
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 15 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: Kapol » 19 gru 2008, o 23:08

Chciałbym pokasować, ale chyba za późno.

adacho90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 24 cze 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 41 razy

odległości od środka okręgu wpisanego w trapez

Post autor: adacho90 » 20 gru 2008, o 17:08

mi z tego ukł. równań z tw Talesa, napisanego przez Kapola, wychodzi tożsamość...

ODPOWIEDZ