prosta całka funkcji niewymiernej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
MasterPit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 16 gru 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

prosta całka funkcji niewymiernej

Post autor: MasterPit » 19 gru 2008, o 15:35

Witam,
Mam do policzenia prosta całke. Niestety przy pomocy standardowego podstawienia staje sie ona bardzo zagmatwana obliczeniowo, dlatego chcialbym sie spytac, czy ktos ma jakis dobry na policzenie jej

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x-1} \sqrt{ \frac{x}{x-1} }dx}\)

tak jak mowilem, po podstawieniu\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t ^{2}}\)zadanie staje sie bardzo zlozone obliczeniowo.

Za wszelka pomoc z góry dziekuje.[/latex]

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

prosta całka funkcji niewymiernej

Post autor: Dedemonn » 19 gru 2008, o 16:36

Na podstawie jednego z przykładów z K&W:

Robimy podstawienie

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t^2 \ \ \ \ \frac{t^2}{t^2-1} = x}\) ( nie mam pojęcia jak dokonać takiego przekształcenia)
\(\displaystyle{ dx = \frac{-2t}{(t^2-1)^2}}\)

Podstawiając:

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x-1} \sqrt{ \frac{x}{x-1} }dx = -2 t \frac{\frac{t^2}{t^2-1}}{\frac{t^2}{t^2-1}-1} \frac{t}{t^2-1} t\ dt = -2 t \frac{t^4}{t^2-1}}\)

Mam nadzieję, że to prawidłowe rozwiązanie.


Pozdrawiam.

MasterPit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 16 gru 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

prosta całka funkcji niewymiernej

Post autor: MasterPit » 19 gru 2008, o 17:46

uuu, wyglada mi na dobre. Czyli po odpowiednim przeksztalceniu warto jest podstawic:), robilem to podstawienie, ze jakis strasznie wielki wielomian mi wychodzil. Dzieki

chris139
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 326
Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 122 razy

prosta całka funkcji niewymiernej

Post autor: chris139 » 19 gru 2008, o 19:46

Dedemonn pisze: \(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t^2 \ \ \ \ \frac{t^2}{t^2-1} = x}\) ( nie mam pojęcia jak dokonać takiego przekształcenia)
A więc
\(\displaystyle{ t^2=\frac{x}{x-1}\\
t^2x-t^2=x\\
t^2=t^2x-x=x(t^2-1)\\
x=\frac{t^2}{t^2-1}}\)

Mam nadzieję że teraz każdy wie jak dokonac tego przeksztalcenia
Pozdro

ODPOWIEDZ