Mam pytanie dotyczące wariancji:
Dla danych indywidualnych wzór wygląda następująco:
\(\displaystyle{ S ^{2}(x)=1/N \sum_{i=1}^{N} (x _{i}-x ) ^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ x }\) to średnia bo nie znalazłem w TeX stosownej poziomej kreski nad x.
Wiem, że alternatywa tego wzoru to:
\(\displaystyle{ 1/N \sum_{i=1}^{N}x _{i} ^{2} - x\vec{} ^{2}}\)
Moje pytanie brzemi jak doprowadzić do tego wzoru.
Wariancja - przekształcenie
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wariancja - przekształcenie
Wiemy, że \(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}x_i}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i^2 - 2x_i\overline{x} + \overline{x}^2 ) =\frac{1}{N} ft( \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \sum_{i=1}^{N} 2x_i\overline{x} +\sum_{i=1}^{N}\overline{x}^2 \right) = \\ =
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - 2\overline{x}\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i +\overline{x}^2\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} 1 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - 2\overline{x}\cdot \overline{x} +\overline{x}^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 -\overline{x}^2}\)
Q.
\(\displaystyle{ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i^2 - 2x_i\overline{x} + \overline{x}^2 ) =\frac{1}{N} ft( \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \sum_{i=1}^{N} 2x_i\overline{x} +\sum_{i=1}^{N}\overline{x}^2 \right) = \\ =
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - 2\overline{x}\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i +\overline{x}^2\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} 1 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - 2\overline{x}\cdot \overline{x} +\overline{x}^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 -\overline{x}^2}\)
Q.