Granica ciągu

[Iv]

Prosiłabym o pomoc z tym przykładem, mi jakoś nie chce wyjść 1.. :/

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ( \frac{ \sqrt{1 2} + \sqrt{2 3} + ... + \sqrt{n(n + 1)} }{n} - \frac{n}{2} ) = 1}\)

[xiikzodz]

Z twierdzenia Stolza (nr 20):

\(\displaystyle{ \lim\frac{\sqrt{1\cdot 2}+...+\sqrt{n(n+1)}}{n}-\frac n2
=\lim\frac{2\sqrt{1\cdot 2}+...+2\sqrt{n(n+1)}-n^2}{2n}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim\frac{2\sqrt{n(n+1)}-n^2+(n-1)^2}{2}
=\lim\frac{2\sqrt{n(n+1)}-2n+1}{2}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac 12+\lim\left(\sqrt{n(n+1)}-n\right)=
\frac 12+\lim\frac{\left(\sqrt{n(n+1)}-n\right)\left(\sqrt{n(n+1)}+n\right)}{\sqrt{n(n+1)}+n}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac 12+\lim\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}+n}=\frac 12+\frac 12=1}\)

[Iv]

Dziękuję za pomoc, już wiem, gdzie się pomyliłam..