Wyznaczyć wspólrzędne wektora dzielącego kąt miedzy wekto...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Marekzt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 gru 2008, o 11:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk
Podziękował: 2 razy

Wyznaczyć wspólrzędne wektora dzielącego kąt miedzy wekto...

Post autor: Marekzt » 18 gru 2008, o 17:22

Nie wiem jak ugryźć te zadanko

Wektor a=[2,3], b=[-1,5] . Wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora c dzielącego kąt miedzy wektorami a i b na połowy.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznaczyć wspólrzędne wektora dzielącego kąt miedzy wekto...

Post autor: Crizz » 18 gru 2008, o 19:08

Wyznaczmy najpierw kąt, jaki tworzą podane wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a}=[2,3],\vec{b}=[-1,5]}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}=-2+3 5=13}\)
\(\displaystyle{ det(\vec{a},\vec{b})=2 5+3 1=13}\)
\(\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}}\)

\(\displaystyle{ cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{13}{\sqrt{2} 13}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin (\vec{a},\vec{b})=\frac{det(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{13}{\sqrt{2} 13}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Dla ułatwienia mozemy zauważyc, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle(\vec{a},\vec{b})|=45^{o}}\).
Szukamy zatem takiego wektora, który tworzy z wektorem a kąt \(\displaystyle{ 22,5^{o}}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ sin22,5^{o}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos22,5^{o}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)

Niech \(\displaystyle{ \vec{c}=[x,y]}\) będzie szukanym wektorem i przyjmijmy, że \(\displaystyle{ |\vec{c}|=\frac{1}{\sqrt{13}}}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\vec{c} \circ \vec{a}}{|\vec{c}||\vec{a}|}=cos22,5^{o} \\ \frac{det(\vec{c},\vec{a})}{|\vec{c}||\vec{a}|}=sin22,5^{o} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \\ \2y-3x=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{cases}}\)

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 19:19 ]
Mozna też to zadanie rozwiązać inaczej:
*znaleźć dowolne proste, których wektorami są a i b (np. proste \(\displaystyle{ l:3x-2y=0,m:5x+y=0}\))
*wyznaczyć proste zewierające dwusieczne kątów utworzonych przez proste l i m
(punky dwusiecznej kąta są jednakowo odległe od ramion, zatem ze wzoru na odległość punktu od prostej możemy zapisać: \(\displaystyle{ \frac{|3x-2y|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\frac{|5x+y|}{\sqrt{5^{2}+1^{2}}}}\), opuszczając moduły po obu stronach raz bez zmiany znaków, a raz zmieniając znak jednego modułu, otrzymujemy równania dwóch dwusiecznych kątów utworonych przez proste l i m)
*na rysunku sprawdzić, która z otrzymanych dwusiecznych nas interesuje
*znaleźć dwa dowolne punkty tej dwusiecznej i wyznaczyć wektor tej prostej, który jest rozwiązaniem zadania

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 19:20 ]
Druga metoda będzie chyba szybsza; w pierwszej, gdyby nie łatwy kąt, trzeba by kombinować ze wzorami na sinus i cosinus połowy kąta.

Marekzt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 gru 2008, o 11:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk
Podziękował: 2 razy

Wyznaczyć wspólrzędne wektora dzielącego kąt miedzy wekto...

Post autor: Marekzt » 19 gru 2008, o 15:41

dziękuję

ODPOWIEDZ