styczna do krzywej w punkcie P

[Dave]

Niech P bedzie punktem na krzywej \(\displaystyle{ y=x^3}\) i styczna w punkcie P przecina krzywą w punkcie Q. udowodnic ze nachylenie w punkcie Q jest 4 razy wieksze niz w punkcie P. Policzyłem styczną w pukcie Q ale nie wiem jak ją porownać ze styczną w punkcie P. Proszę o pomoc
z gory dziekuje

[Crizz]

Powinieneś otrzymać, że jeśłi \(\displaystyle{ P=(x_{0},x_{0}^{3})}\), to \(\displaystyle{ Q=(-2x_{0}, -8x_{0}^{3})}\).

Pochodna funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) ma wartość \(\displaystyle{ f'(x_{0})=3x_{0}^{2}}\), a w punkcie Q \(\displaystyle{ f'(-2x_{0})=12x_{0}^{2}}\). Pochodna w danym punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie, czyli tangens kąta, jaki tworzy styczna z osią x. Tangens kąta to właśnie miara nachylenia, zatem skoro \(\displaystyle{ \frac{f'(-2x_{0})}{f'(x_{0})}=4}\), to nachylenie stycznej w punkcie Q jest 4 razy większe niż w P, c.n.u.

[Dave]

jak obliczyles wspolrzedne q?:)

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 19:45 ]
czy da sie jakos ominac to rownanie trzeciego stopnia przy liczeniu puktu q?

[Crizz]

Najpierw znajdujemy równanie stycznej do wykresu w punkcie P: \(\displaystyle{ y-x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(x-x_{0})}\)

Szukamy punktu \(\displaystyle{ x_{1}}\)(różnego od \(\displaystyle{ x_{0}}\)), w którym ta styczna przecina wykres krzywej, czyli rozwiązujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(x-x_{0}) \\ y=x^{3} \end{cases}}\)

Układ będzie równoważny równaniu: \(\displaystyle{ x_{1}^{3}-x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(x_{1}-x_{0})}\)

Można skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy: \(\displaystyle{ (x_{1}-x_{0})(x_{0}^{2}+x_{0}x_{1}+x_{1}^{2})=3x_{0}^{2}(x_{1}-x_{0})}\). Ponieważ szukamy rozwiązań różnych od \(\displaystyle{ x_{0}}\), to obie strony możemy podzielić przez \(\displaystyle{ x_{1}-x_{0}}\). Dostajemy równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{0}x_{1}-2x-{0}^{2}=0}\). Rozwiązujemy i dostajemy wartość \(\displaystyle{ x_{1}}\).