Monotoniczność ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
ranisz1980
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Monotoniczność ciągu

Post autor: ranisz1980 » 18 gru 2008, o 10:53

Zbadać monotoniczność ciągu: \(\displaystyle{ a_{n} = ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)

Awatar użytkownika
Ateos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1101
Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Swarzędz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 214 razy

Monotoniczność ciągu

Post autor: Ateos » 18 gru 2008, o 19:17

\(\displaystyle{ a_{n} = ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}= ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ft( 1+ \frac{1}{n} \right)^n= ft( 1+ \frac{1}{n} \right) e}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }\) malejaca
Funkcja jest ,malejaca w calej dziedzinie

ranisz1980
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Monotoniczność ciągu

Post autor: ranisz1980 » 18 gru 2008, o 22:24

\(\displaystyle{ e = \lim_{n\to } ft(1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}}\) a nie: \(\displaystyle{ e = ft(1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}}\), zatem wskazane rozwiązanie nie jest prawidłowe. Chodzi mi o pokazanie tego, że jest to ciąg malejący poprzez zbadanie ilorazu: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1} }{a_{n}}}\) lub różnicy: \(\displaystyle{ a _{n+1} - a _{n}}\)

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Monotoniczność ciągu

Post autor: xiikzodz » 18 gru 2008, o 23:09

\(\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}
=\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}\ge}\)


(Nierownosc Bernoulliego)

\(\displaystyle{ \ge\frac{1+\frac{n}{n^2-1}}{1+\frac 1n}=\frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1}=1+\frac{1}{n^3+n^2-n-1}>1}\)

Ciag jest wiec malejacy.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Monotoniczność ciągu

Post autor: max » 19 gru 2008, o 00:30

Można też np tak:
z nierówności między średnią harmoniczną a geometryczną zastosowaną do \(\displaystyle{ n+2}\) liczb dodatnich, z których \(\displaystyle{ n+1}\) jest równych \(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n}}\) a jedna jest równa \(\displaystyle{ 1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n+1} = \frac{n + 2}{(n+1)\cdot\frac{n}{n+1} + 1} < \sqrt[n+2]{\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot 1}}\)
podnosząc stronami do potęgi o wykładniku \(\displaystyle{ n+2}\) otrzymujemy, że badany ciąg jest malejący.

ranisz1980
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Monotoniczność ciągu

Post autor: ranisz1980 » 19 gru 2008, o 09:03

xiikzodz - o to mi chodziło, tylko nie wpadłem, że zbadanie odwrotnego ilorazu umożliwi mi zastosowanie nierówności Bernoulliego, dzięki!
max - bardzo zgrabnie, ładnie i krótko, wielkie dzięki!

ODPOWIEDZ