Matematyka.pl

Witam mam problem z takimi oto zadaniem

a) Wypisz macierz formy kwadratowej

\(\displaystyle{ f(x _{1},x _{2} ,x _{3} ) = x _{1} ^{2}+2x _{2} ^{2} +2x _{1} x_{2}-4x _{1}x _{3}+6x_{2}x _{3}}\)

b) Pokaż, że

\(\displaystyle{ f(x _{1},x _{2} ,x _{3} ) = \frac{1}{2}H _{f} (x _{1},x _{2} ,x _{3})}\)

gdzie \(\displaystyle{ H _{f} (x _{1},x _{2} ,x _{3})}\) jest hesjanem \(\displaystyle{ f}\).

ad a)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&3\\-2&3&0\end{array}\right]}\)

Wielkie dzięki

A moglibyście to rozpisać ?

Bo siedzę nad tym i za cholerę nie mogę skumać.

Witam, ja również prosiłabym o rozpisanie tego jak powstaje taka macierz, ponieważ wszędzie wstawiacie już gotowe a nigdzie nie mogę znaleźć tego krok po kroku. Z góry dziękuję:)

\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_3+6x_2x_3}\)

ogólniej:
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+2dx_1x_2+2ex_1x_3+2fx_2x_3}\)

Macierz ma postać:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}\right]}\)

A więc wpisuje się współczynniki przy wyrazie \(\displaystyle{ x_1^2}\) itd. na głównej przekątnej a połowy współczynników przy wyrazach mieszanych tak, jak to rozpisałem w macierzy. Analogicznie tak się robi dla macierzy wyższych rozmiarów - symetrycznie.

Witam
Czy ktoś mógłby rozwiązać podpunkt b?

Witam, mam bardzo podobne zadanie do rozwiązania i również prosiłbym kogoś bardzo o rozwiązanie podpunktu b.

Pozdrawiam !

\(\displaystyle{ H_f=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial^2f}{\partial{x_1}^2}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_1}\partial{x_2}}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_1}{\partial{x_3}}}\\\frac{\partial^2f}{\partial{x_2}\partial{x_1}}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_2}^2}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_2}\partial{x_3}}\\\frac{\partial^2f}{\partial{x_3}\partial{x_1}}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_3}\partial{x_2}}&\frac{\partial^2f}{\partial{x_3}^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -4 \\\ 2 & 4 & 6 \\\ -4 & 6 & 0 \end{array}\right]=2\left[\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&3\\-2&3&0\end{array}\right]}\)
Zdaje się, że tak

sorry za odswiezanie ale chyba nie ma potrzeby zakladania nowego tematu. Mam pytanie jak teraz sprawdzic czy ta forma z punktu a jest dodatnio czy ujemnie okreslona? Wykorzystujac w jakis sposob jej macierz?

kuch2r pisze:ad a)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&3\\-2&3&0\end{array}\right]}\)

np

Jeśli chodzi o zadanie a) - podane wyżej rozwiązanie i ogólny sposób postępowania dotyczy bazy standardowej. Jak postępować, jeśli miałbym znaleźć macierz formy kwadratowej w innej bazie, np. \(\displaystyle{ (0,1,1), (0,1,0), (1,1,0)}\)?

Znajdz postać kanoniczną formy kwadratowej w \(\displaystyle{ R^{4}}\) danej wzorem \(\displaystyle{ g\left( \left( x _{1}, x_{2},x _{3},x _{4} \right) \right)=x _{1}x _{2}+x _{2}x _{3}+x _{3}x _{4}+x _{4}x _{1}}\) i odpowiadającą jej bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\)