minimalizacja funkcji dwóch zmiennych/funkcji Lagrange'a

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Mateusz88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 11 lis 2006, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 2 razy

minimalizacja funkcji dwóch zmiennych/funkcji Lagrange'a

Post autor: Mateusz88 » 16 gru 2008, o 17:26

Witam,
Mam takie dwa zadania, w obu należy znaleźć minimum funkcji. Jeżeli ktoś jest z Gliwic lub z Tychów, to chętnie postawię piwko za rozwiązanie drugiego zadania :).

1.
\(\displaystyle{ Min f(x)=-10x_{1}-x_{2}}\)

Ograniczenia:
\(\displaystyle{ x_{2}\leqslant (3-x_{1})^3+1}\)
\(\displaystyle{ x_{2} \geqslant 1}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \geqslant 0}\)

Jako podpowiedź: Używając interpretacji geometrycznej sprawdź istnienie punktów nieregularnych.

Postać funkcji Lagrange'a:
\(\displaystyle{ L( x_{1},x_{2},u _{1}u _{2})=-10x_{1}-x_{2}+ u_{1}(-x_{2}+1)+u_{2}(x_{2}-1-(3-x_{1})^3)}\)

Ja do tego zadania ułożyłem takie warunki:
\(\displaystyle{ x_{1} \frac{d}{dx_{1}}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dL}{dx_{2}}=0}\)

\(\displaystyle{ u_{1} \frac{dL}{du_{1}}=0}\)

\(\displaystyle{ u_{2} \frac{dL}{du_{2}}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dL}{dx_{1}} \geqslant0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dL}{du_{1}} \leqslant 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dL}{du_{2}}\leqslant0}\)

\(\displaystyle{ u_{1} \geqslant 0}\)



2.

\(\displaystyle{ Min I[x,x']= \int_{0}^{1}(x^2(t)+x'^2(t))dt}\)

Ograniczenia:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^2(t)dt=2}\)
\(\displaystyle{ x(0)=0}\)
\(\displaystyle{ x(1)=1}\)

ODPOWIEDZ