Matematyka.pl

Wyznacz zbiór wartości odwzorowania \(\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3, T(x_1,x_2,x_3)=(2x_1-x_2+x_3, x_1+x_3, 3x_2+3x_3)}\)

Tak na oko T jest na \(\displaystyle{ R^3.}\) niech (a,b,c) oznacza dowolny wektor z tej przestrzeni. sprawdzam czy jest ona wartością T dla jakichś \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1-x_2+x_3=a\\x_1+x_3=b\\3x_2+3x_3=c\end{cases}.}\)
Rozwiązanie układu pokazuje, że tak jest. T jest na R x R x R.

chyba raczej nie:/ bo chcac rozwiazac ten uklad macierzą, wychodzi mi ze wyznacznik glowny jest rowny 0.
a inaczej c=6b-3a.
Więc co jest zbiorem wartości odwzorowania?

Faktycznie, coś namotałem z tym układemł?

Odwzorowania jest "na " \(\displaystyle{ R^3.}\)
Dowolną liczbę rzczywistą można przedstawiść jako sumę \(\displaystyle{ 2x_1-x_2+x_3.}\) analogicznie można dobrać \(\displaystyle{ x_1, x_3}\) tak że ich suma będzie jakąś liczbą rzeczywistą. Podobnie z \(\displaystyle{ 3x_2+3x_3.}\)

T nie byłoby "na", gdyby składową wartości, była jakaś konkretna liczba lub podzbiór właściwy R, np.: \(\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3)=(2, x_1+x_3, 3x_2+3x_3)}\) jest na \(\displaystyle{ \{2\} R R,}\)
a
\(\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3)=(x_1^2+x_3^2, x_1+x_3, 3x_2+3x_3)}\) jest na \(\displaystyle{ R_+ R R,}\)
To ostatnie chyba nie jest liniowe.

Teraz wracam do układu. Należy go rozwiązać względem a,b,c. Tylko że on jest już rozwiązany i wynika z niego ,że dla dowolnej trójki (a, b, c)istnieje nieskńczenie wiele \(\displaystyle{ x_1,x_2, x_3}\) takich, że ta trójka jest wartością T dla tych ostatnich.

Zerowość wyznacznika głównego oznacza, że T nie jest jednoznaczne.

A to nie powinno być tak że zbiorem wartości tego odwzorowania jest zbiór wektorów postaci (a,b,c) takich że c=6b-3a, no bo jednak taki warunek wyszedl z tego układu..

\(\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3) = (2x_1-x_2+x_3, x_1+x_3, 3x_2+3x_3) = x_1(2,1,0)+x_2(-1,0,3)+x_3(1,1,3) \ x_1,x_2,x_3 R}\)
Te trzy wektory są zależne, ale dowolne dwa już nie, stąd zbiór wartości to R^2.

Lukasz_C747 pisze:stąd zbiór wartości to R^2.

A "głupi" wektor (0,0,0) = T(0,0,0), któremu to przeczytałem, nie chce należeć do R x R,

A teraz do Zleceniodawczyni.
To, co Koleżanka proponuje, to nic nie daje w tym sensie, że są to niejako zapisane w inny sposób warunki układu równań.

JankoS pisze: A "głupi" wektor (0,0,0) = T(0,0,0), któremu to przeczytałem, nie chce należeć do R x R,

Hmmm, chodzi mi o to, że w powyższym moim rozumowaniu dwa niezależne wektory z R^3 rozpinają nam jakąś płaszczyznę, a ponieważ płaszczyzna ma dwa wymiary to można ją utożsamić z R^2. Zatem patrząc na tę płaszczyznę narysowaną w układzie trójwymiarowym ten wektor do niej należy. Podobnie jak w podanym wcześniej przez Ciebie przykładzie {2}xRxR - zbiór wartości ma trzy współrzędne, ale można je utożsamić go z R^2, gdyż trzecia współrzędna jest stała.

Lukasz_C747 pisze:zbiór wartości ma trzy współrzędne, ale można je utożsamić go z R^2, gdyż trzecia współrzędna jest stała.

No nie wiem jak można tak utożsamiać dwie niecałkiem, ale jednak różne rzeczy.
A teraz, co do zadania. Tam nie ma trzech wektorów, tylko jeden o trzech składowych, i jeśli on jest niezerowy, to jest niezależny.
Być może niepotrzebnie zamieściłem układ równań, ale z niego wynika, że dowolna trójka jest wartością dla nieskończenie wielu wektorów z R x R x R.

JankoS pisze: No nie wiem jak można tak utożsamiać dwie niecałkiem, ale jednak różne rzeczy.

Do tego właśnie wprowadzono pojęcie homeomorfizmu.

Wniosek Anioosi jest słuszny. Obrazem jest podprzestrzeń wektorów w \(\displaystyle{ R^3}\) spełniających warunek wynikający z układu.

artam pisze:

JankoS pisze: No nie wiem jak można tak utożsamiać dwie niecałkiem, ale jednak różne rzeczy.

Do tego właśnie wprowadzono pojęcie homeomorfizmu.

Wniosek Anioosi jest słuszny. Obrazem jest podprzestrzeń wektorów w \(\displaystyle{ R^3}\) spełniających warunek wynikający z układu.

W tym wypadku raczej odpowiedniejsze pojęcie to izomorfizm liniowy.
Dokładniejszy opis dwuwymiarowej podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) (różnej od \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}\subset \mathbb{R}^{3},}\) ale izomorficznej z nią) stanowi np jej baza, czyli dwa z trzech podanych przez Łukasza wektorów.