Matematyka.pl

1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}sin^2(\Pi\sqrt{n^2+n})}\)


2. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^1+2^2+\ldots+n*2^n}}\)



3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{2n+1})^{2n+3}}\)

3)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{2n+1})^{2n+3}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2n+1-n-1}{2n+1})^{2n+3}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{-n-1}{2n+1})^{2n+3}=\lim_{n\to\infty}[(1+\frac{-n-1}{2n+1})^{ \frac{2n+1}{-n-1} }]^{ \frac{(2n+3)(-n-1)}{2n+1} }=e^{\frac{(2n+3)(-n-1)}{2n+1}}=e^{- }= (\frac{1}{e}) ^{ }=0}\)

Wicio,
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{-n-1}{2n+1})^{ \frac{2n+1}{-n-1} }\neq e}\)

Faktycznie bo nie jest zbieżny do 0 ;p

1. Łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n^2+n}=n}\) Z ciągłości funkcji sinus mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sin(a_n)=\sin(\lim_{n\to\infty}a_n)}\) ostatecznie więc dla szukanego ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+n})=0}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{1+2^1+2\cdot2^2+...+n\cdot2^n} = \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{1\frac{1-2^{n+1}}{1-2}+2\frac{1-2^{n}}{1-2}+...+2^{n}\frac{1-2}{1-2}}=\lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{n\cdot 2^{n+1}-(1+2+2^2+2^n)}=\lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{n\cdot2^{n+1}-2^{n+1}+1}=\lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{(n-1)2^{n+1}+1}=2}\)

1) Tu granicą jest jedynka. Okresem funkcji \(\displaystyle{ sin^{2}x}\) jest \(\displaystyle{ \pi}\), zatem możemy dokonać takiego manewru:
\(\displaystyle{ sin^2 (\sqrt{n^2 + n} \pi) = sin^2 ( (\sqrt{n^2 + n} -n) \pi) = sin^2 ( \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \pi) sin^2 (\frac{1}{2} \pi) = 1}\)
2) Tu zapewne literówka, bo powinno wyjść 2.

a możesz jakoś prościej wytłumaczyć? ten 1 przykład, bo dalej nie rozumiem

Już tutaj o tym pisałem, zatem najpierw zapoznaj się z treścią tego tematu, a jeśli nadal będziesz miał wątpliwości, to pytaj.

ok, wszystko rozumiem, dziękuje bardzo