A jeśli tak, to wrzucę, zwłaszcza, że nie zaobserwowałem protestów;)
Mi też zadanie się spodobało.
Dumel pisze:
zad. 6.
Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą dodatnią orac ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie zdefiniowany następująco:
\(\displaystyle{ a_1=k, a_n=k^{a_{n-1}}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Pakazać, że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, to ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest od pewnego miejsca stały modulo \(\displaystyle{ m}\).
Najpierw bardzo ogólna idea rozwiązania, a w zasadzie wskazówka, jeśli ktoś chciałby zrobić to samemu, ale brakuje mu pomysłu: indukcja, rząd modulo
\(\displaystyle{ m}\), chińskie tw o resztach.
Poniżej jest pełne rozwiązanie.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ k}\) całkowite dodatnie.
Dalej indukcja po
\(\displaystyle{ m}\).
Dla
\(\displaystyle{ m = 2}\) teza jest oczywista (wszystkie reszty są takie same jak reszty dla
\(\displaystyle{ k}\)).
Załóżmy, że zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych mniejszych od
\(\displaystyle{ m}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ m = p^{\alpha}}\), gdzie
\(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą,
\(\displaystyle{ \alpha > 0}\), to mamy dwie sytuacje:
(i)
\(\displaystyle{ p|k}\), wtedy wszystkie reszty są od pewnego miejsca zerowe.
(ii)
\(\displaystyle{ (p,k) = 1}\), wtedy niech
\(\displaystyle{ l}\) będzie rzędem
\(\displaystyle{ k}\) modulo
\(\displaystyle{ p^{\alpha}}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ l n_{0}}\), wtedy również
\(\displaystyle{ k^{a_{n}} \equiv k^{s}\pmod{p^{\alpha}}}\) dla
\(\displaystyle{ n > n_{0}}\), czyli nasz ciąg jest też od pewnego miejsca stały modulo
\(\displaystyle{ p^{\alpha}}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ m = p^{\alpha}\cdot m_{0}}\), gdzie
\(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą nie dzielącą
\(\displaystyle{ m_{0}> 1}\) oraz
\(\displaystyle{ \alpha > 0}\), to z założenia indukcyjnego wiemy, że nasz ciąg jest od pewnego miejsca stały modulo
\(\displaystyle{ p^{\alpha}}\) i modulo
\(\displaystyle{ m_{0}}\). Z chińskiego tw o resztach dostajemy, że musi być też od tego miejsca stały modulo
\(\displaystyle{ p^{\alpha}\cdot m_{0}}\), co kończy krok indukcyjny.