Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
goldenka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 10 wrz 2005, o 12:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock/Kraków
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 10 razy

Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy

Post autor: goldenka » 15 gru 2008, o 17:46

Udowodnić indukcyjnie że podany ciąg zadany rekurencyjnie jest rosnący:
\(\displaystyle{ x_1=1, \ x_{n+1}=1+ \sqrt{x_n+5}}\)

Wiem jakie jest założenie i teza tzn.
1) Założenie \(\displaystyle{ x_{n+1}>x_{n}}\)
2) Teza \(\displaystyle{ x_{n+2}>x_{n+1}}\)

Ale nijak nie mogę dojść do końca dowodu.
Dziękuję z góry za pomoc:)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy

Post autor: » 15 gru 2008, o 23:32

Z uwagi na to, że w oczywisty sposób wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (więc można pierwiastkować do woli), założenie jest równoważne kolejno:
\(\displaystyle{ x_{n+1} + 5 > x_n + 5 \\
\sqrt{x_{n+1} + 5} > \sqrt{x_n + 5} \\
1+ \sqrt{x_{n+1} + 5} > 1+ \sqrt{x_n + 5} \\
x_{n+2} > x_{n+1}}\)

więc w szczególności z założenia wynika teza.

Q.

goldenka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 220
Rejestracja: 10 wrz 2005, o 12:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock/Kraków
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 10 razy

Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy

Post autor: goldenka » 16 gru 2008, o 01:07

Sprytnie;) Punkt dla ciebie:)

ODPOWIEDZ