równanie różniczkowe rzędu 2

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

równanie różniczkowe rzędu 2

Post autor: qaz » 15 gru 2008, o 15:16

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ 2y''=3e^y}\)
no to rozwiazuję:
\(\displaystyle{ y'=u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=\frac{du}{dy} u(y)}\)
\(\displaystyle{ 2\frac{du}{dy} u=3e^y}\)
po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu mam:
\(\displaystyle{ u^2=3e^y+C}\), czyli:
\(\displaystyle{ u=_+^- \sqrt{3e^y+C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=_+^- \sqrt{3e^y+C}}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ _+^- t \frac{dy}{\sqrt{3e^y+C}}=\int dx}\)
co do pierwszej całki podstawiam: \(\displaystyle{ 3e^y+C=t^2}\), dochodzę so postaci:
\(\displaystyle{ _+^- 2\int \frac{dt}{t^2-C}}\), to z kolei rozbijam na ułamki proste:
\(\displaystyle{ = t \frac{\frac{1}{2\sqrt{C}}}{t-\sqrt{C}}dt - t \frac{\frac{1}{2\sqrt{C}}}{t+\sqrt{C}}dt}\) (pomijam to mnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\), ale uwzględniam na końcu).
No i ostatecznie wychodzi mi wynik:
\(\displaystyle{ x+C_1=\frac{1}{\sqrt{C}}\ln{\frac{\sqrt{3e^y+C}-\sqrt{C}}{\sqrt{3e^y+C}+\sqrt{C}}}}\)
a w książce jest:
\(\displaystyle{ x+C_2=\frac{1}{C_1}\ln{\frac{\sqrt{3e^y+C_1^2}-C_1}{\sqrt{3e^y+C_1^2}+C_1}}\)
gdzie jest błąd

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równanie różniczkowe rzędu 2

Post autor: luka52 » 15 gru 2008, o 16:31

Przecież to jest to samo przy założeniu, że Twoje \(\displaystyle{ C}\) to książkowe \(\displaystyle{ C_1^2}\), a Twoje \(\displaystyle{ C_1}\) to \(\displaystyle{ C_2}\).
Zauważ, że Twoje \(\displaystyle{ C}\) nie może być mniejsze od zera (i można je zastąpić np. \(\displaystyle{ C=D^2}\)), gdyż wtedy istniałoby takie \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ 3e^y + C < 0}\) lecz wtedy nie istniałby pierwiastek z tego wyrażenia.

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

równanie różniczkowe rzędu 2

Post autor: qaz » 17 gru 2008, o 12:10

thx

ODPOWIEDZ