Istnienie liczb pierwszych spełniających układ kongruencji
: 14 gru 2008, o 23:34
Kiedyś trafiłem na taki problem i do dzisiaj nie znam odpowiedzi:
Czy istnieją \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\}}\) i \(\displaystyle{ p_{1}, \ldots, p_{n}}\) parami różne liczby pierwsze takie, że \(\displaystyle{ p_{i}\not\equiv 1\pmod{p_{j}}}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\), że dla każdego \(\displaystyle{ l \{1, \ldots, n\}}\) istnieją \(\displaystyle{ k\in \{1, \ldots, n\}}\) i parami różne \(\displaystyle{ j_{1},\ldots j_{k}\in \{1,\ldots, n\}}\), że zachodzi:
\(\displaystyle{ p_{j_{1}}\cdot \ldots p_{j_{k}} \equiv 1 od{p_{l}}}\) ?
(z odpowiedzi negatywnej wynikałoby istnienie ciekawego rozwiązania pewnego innego problemu).
Czy istnieją \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\}}\) i \(\displaystyle{ p_{1}, \ldots, p_{n}}\) parami różne liczby pierwsze takie, że \(\displaystyle{ p_{i}\not\equiv 1\pmod{p_{j}}}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\), że dla każdego \(\displaystyle{ l \{1, \ldots, n\}}\) istnieją \(\displaystyle{ k\in \{1, \ldots, n\}}\) i parami różne \(\displaystyle{ j_{1},\ldots j_{k}\in \{1,\ldots, n\}}\), że zachodzi:
\(\displaystyle{ p_{j_{1}}\cdot \ldots p_{j_{k}} \equiv 1 od{p_{l}}}\) ?
(z odpowiedzi negatywnej wynikałoby istnienie ciekawego rozwiązania pewnego innego problemu).