Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
raf123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 gru 2008, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: raf123 » 14 gru 2008, o 19:05

Hej, łapię troche o co chodzi z tym , ale prosiłbym o rozpisanie łopatologicznie żebym mógł wiedzieć gdzie robie błędy.

1) z = (2 - 2j)\(\displaystyle{ ^{5}}\)
2) z = (\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + j)\(\displaystyle{ ^{6}}\)

Jednocześnie prosiłbym o pomoc jeszcze dzisiaj , gdyż dopiero przed chwilą trafiłem na to forum a zadanka potrzebne mi są na jutro.

Awatar użytkownika
Ptaq666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 154 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: Ptaq666 » 14 gru 2008, o 20:37

To 5 i 6 to potęgi ?

rozważ takie liczby :

\(\displaystyle{ z = 2-2j |z| =2 \sqrt{2} \ \ \ cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ sin \phi = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ z = 2 \sqrt{2} (cos \frac{7 \pi }{4} + jsin \frac{7 \pi }{4} )}\)

W takim razie \(\displaystyle{ z^{5} = (2 \sqrt{2} (cos \frac{7 \pi }{4} + jsin \frac{7 \pi }{4} ) )^{5} = (2 \sqrt{2} )^{5} (cos \frac{35 \pi }{4} + jsin \frac{35 \pi }{4} )= (2 \sqrt{2})^{5} (cos \frac{3 \pi }{4} + jsin \frac{3 \pi }{4} )}\)


Drugie tak samo. Postać wykładnicza chyba wiadomo

raf123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 gru 2008, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: raf123 » 14 gru 2008, o 21:06

Tak , do potęgi 5 i 6 , nie ogarniam jeszcze tego całego LaTeXa

Dalszą część wzoru moivre rozumiem , tylko nie wiem co z tym "z"..

Dlaczego \(\displaystyle{ z = 2-2j |z| =2 \sqrt{2}}\) ?

\(\displaystyle{ cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}}\) , to bierze się ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{x}{r}}\) i niweluje się pierwiastek z mianownika?

btw dzięki za pomoc

Awatar użytkownika
Ptaq666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 154 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: Ptaq666 » 14 gru 2008, o 22:04

No |z| to moduł z. cos = x/|z| sin = y/|z| . Niektórzy wolą oznaczac |z| = r

raf123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 gru 2008, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: raf123 » 14 gru 2008, o 22:37

ok, teraz już rozumiem całośc , dzięki za pomoc !
+1

Może mi ktoś jeszcze powiedzieć dlaczego \(\displaystyle{ cos \frac{7 \pi }{4}}\)
Z tabelki wynika że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1 \pi }{4}}\)
skąd tam sie wzieła 7 w liczniku?

yzmaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 8 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 2 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: yzmaster » 16 gru 2008, o 13:58

\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\) gdyż \(\displaystyle{ \sin\varphi= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a \(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) co równa się \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)

a mam pytanko jak z \(\displaystyle{ \frac{35\pi}{4}}\) zrobiło się \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)

Awatar użytkownika
Ptaq666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 154 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: Ptaq666 » 16 gru 2008, o 16:19

Z tym 7/4 to chodzi o to, że kąt leży w 4 ćwiartce układu współrzędnych.

A z tym 35/4 to chodzi o to, że :

\(\displaystyle{ \frac{35\pi}{4} = 4 2 \pi + \frac{3 \pi}{4}}\)

No a wiadomo, że sin(x+2kpi) = sin(x) , to samo cos

raf123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 gru 2008, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Post autor: raf123 » 17 gru 2008, o 20:15

\(\displaystyle{ \frac{35\pi}{4}}\) ze wzorów redukcyjnych zrobiło się \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) to wiem

Ale nadal nie rozumiem dlaczego jest tam\(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\) ...
Mógł mi ktos to łopatologicznie wytłumaczyć ?

ODPOWIEDZ