Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Luxy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 gru 2008, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Location Location Location
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Post autor: Luxy » 14 gru 2008, o 16:32

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{ ft[ 2 + (-2) ^{n} \right] ^{n} }{4 ^{n} } sin ft( \frac{n\pi}{2} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } (-1) ^{n+1} \frac{ln n}{ \sqrt[4]{n^{5}} }}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } (-1) ^{ \frac{(n+1)n}{2} } \frac{3-(-1)^{n}}{2n}}\)

Dziękuję z góry za pomoc. Jutro mam kolokwium i nic nie umiem

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Post autor: xiikzodz » 14 gru 2008, o 17:19

b) Szereg jest naprzemienny, wystarczy wiec wykazac (na mocy kryterium Leibniza), ze ciag:

\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{\sqrt[4]{n^5}}}\)

jest monotonicznie zbiezny do zera, przynajmniej od pewnego miejsca.

Jest to prawda, bo jesli oznaczymy:

\(\displaystyle{ t=\sqrt[4]{n^5}}\),

to mamy:

\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{\sqrt[4]{n^5}}=\frac{\ln t^{\frac 45}}{t}=\frac 45\cdot\frac{\ln t}{t}}\)

i wystarczy pokazac, ze funkcja

\(\displaystyle{ f(t)=\frac{\ln t}{t}}\)

jest malejaca, co juz jest latwe.

Awatar użytkownika
Luxy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 gru 2008, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Location Location Location
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Post autor: Luxy » 14 gru 2008, o 17:32

Ale ja chcę udowodnić, że jest zbieżny bezwzględnie, czyli nie jest zbieżny warunkowo.
Tzn. ten szereg \(\displaystyle{ \sum_{ }^{n=1} ft| \frac{lnn}{ \sqrt[4]{n ^{5} } } \right| = \sum_{ }^{n=1} \frac{lnn}{ \sqrt[4]{n ^{5} } }}\) ma być zbieżny.
A to co napisałaś pomoże mi jedynie w dowodzie, iż jest zbieżny.

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Post autor: xiikzodz » 14 gru 2008, o 18:08

Zaden z tych szeregow nie jest zbiezny bezwzglednie. A niektore nawet nie sa warunkowo zbiezne.

Awatar użytkownika
Luxy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 gru 2008, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Location Location Location
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadać czy szeregi są zbieżne warunkowo

Post autor: Luxy » 14 gru 2008, o 18:19

Ale właśnie ja mam to wykazać. Poza tym ostatni szereg jest na pewno zbieżny warunkowo

ODPOWIEDZ