Wyznacz n dla ktorych...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
HBFS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opoczno
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz n dla ktorych...

Post autor: HBFS » 13 gru 2008, o 21:16

Wyznacz wszystkie \(\displaystyle{ n N}\) dla ktorych wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^4 - (n+1) x^2 + n}\) ma:

a) trzy rozne pierwiastki
b)4 pierwiastki calkowite

W pierwszym wydaje mi sie ze bedzie \(\displaystyle{ n=0}\) ale nie bardzo wiem jak to wyznaczyc. W drugim nie mam w ogole pomyslu :

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznacz n dla ktorych...

Post autor: Crizz » 13 gru 2008, o 21:32

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-(n+1)x^{2}+n}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-(n+1)t+n=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(n-1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{n+1+n-1}{2}=n}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{n+1-n+1}{2}=1}\)
Wracając do podstawienia:
\(\displaystyle{ x^{2}=n x^{2}=1}\)

Pierwiastkami równania są liczby
\(\displaystyle{ x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=\sqrt{n},x_{4}=-\sqrt{n}}\)

Wielomian ma zatem cztery pierwiastki całkowite dla takich n, które są kwadratami liczb całkowitych, \(\displaystyle{ n 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ n \{k^{2}: k N-\{1\}\}}\).

Wielomian ma trzy różne pierwiastki tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\)

HBFS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opoczno
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz n dla ktorych...

Post autor: HBFS » 13 gru 2008, o 21:40

Crizz pisze:Wielomian ma trzy różne pierwiastki tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\)
Yhh a jak to mozna udowodnic?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznacz n dla ktorych...

Post autor: Crizz » 13 gru 2008, o 22:36

Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\), to wielomian ma dwa pierwiastki 1 i -1
Jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to wielomian ma trzy pierwiastki 0,1,-1
W pozostałych przypadkach wielomian ma cztery różne pierwiastki, bo \(\displaystyle{ \sqrt{n} 1,-\sqrt{n} -1,}\), (pozostałych pierwiastków nie ma co porównywać, bo są przeciwnych znaków), zatem wszystkie pierwiastki wielomianu sa parami różne.

ODPOWIEDZ