Równanie stycznej do krzywej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
wojtek6214
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 735
Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 187 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie stycznej do krzywej

Post autor: wojtek6214 » 13 gru 2008, o 19:58

Wyznacz równanie stycznej do krzywej y=f(x), wiedząc,że styczna jest równoległa do prostej o równaniu 2x+y-3=0,jeżeli f wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-4x+2}\)



Czyli tak:

\(\displaystyle{ f'(x)=2x-4}\)
\(\displaystyle{ f'(x_0)=2x_{0}-4}\)
\(\displaystyle{ f(x_{0})=x_{0}^{2}-4x_{0}+2}\)

Czyli zgodnie ze wzorem podstawiam

\(\displaystyle{ y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}\)

No ale powstaje mi funkcja kwadratowa, więc pewnie coś źle robię ;/

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Równanie stycznej do krzywej

Post autor: miki999 » 13 gru 2008, o 20:46

Bardzo dobrze, teraz podstawiamy to, co wyliczyłeś do wzoru, wymnażamy i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y=2x_{0}x-2x_{0}^{2}-4x+4x_{0}+x_{0}^{2}-4x_{0}+2}\)
Prosta ma być równoległa do funkcji o równaniu y=3-2x. Pytamy się kiedy jedna prosta jest równoległa do innej prostej? -kiedy współczynnik przy 'x' obu tych funkcji jest identyczny.

Zatem bierzemy wszystko, co stoi przy 'x', i przyrównujemy do -2x:
\(\displaystyle{ 2x_{0}x-4x=-2x \\ x(2x_{0}-4)=-2x \\ 2x_{0}-4=-2 \\ x_{0}=1 \\}\)

Podstawiamy to do powyższego wzoru i mamy wzór naszej stycznej.

Można było to rozwiązać znacznie prościej, a mianowicie:

Prosta ma równanie: y=ax+b, wiemy, że ma być ona równoległa do prostej y=-2x+3, zatem a=-2. Styczna jest prostą, która tylko w 1 miejscu przecina wykres danej funkcji, czyli:
\(\displaystyle{ -2x+b=x^{2}-4x+2 \\ x^{2}-2x+2-b=0 \\ \Delta =0 \\ \Delta=4-4(2-b) \\ b=1}\)


Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ