wielomiany zadanko

[number23wp]

Dla jakich wartosci parametru p wielomian w(x)=x^3-3px+9p-27 ma trzy rozne pierwiastki rzeczywiste.

[wb]

\(\displaystyle{ w(x)=x^3-3px+9p-27=(x^3-27)-3p(x-3)=(x-3)(x^2+3x+9)-3p(x-3)= \\ =(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)

Funkcja kwadratowa w drugim nawiasie musi mieć zatem dwa różne pierwiastki i oba różne od 3:
\(\displaystyle{ \Delta=9-4(9-3p)>0 \\-27+12p>0 \\ p> \frac{27}{12} \\ p> \frac{9}{4} \\ p\in ( \frac{9}{4};\infty)}\)

x=3 jest pierwiastkiem powyższej funkcji kwadratowej jeśli:
\(\displaystyle{ 3^2+3 3+9-3p=0 \\ p=9}\)

Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ p\in ( \frac{9}{4};9)\cup (9;\infty)}\)