wielomiany zadanko

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
number23wp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 26 lis 2008, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bydgoszcz
Podziękował: 15 razy

wielomiany zadanko

Post autor: number23wp » 13 gru 2008, o 19:12

Dla jakich wartosci parametru p wielomian w(x)=x^3-3px+9p-27 ma trzy rozne pierwiastki rzeczywiste.

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

wielomiany zadanko

Post autor: wb » 13 gru 2008, o 19:36

\(\displaystyle{ w(x)=x^3-3px+9p-27=(x^3-27)-3p(x-3)=(x-3)(x^2+3x+9)-3p(x-3)= \\ =(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)

Funkcja kwadratowa w drugim nawiasie musi mieć zatem dwa różne pierwiastki i oba różne od 3:
\(\displaystyle{ \Delta=9-4(9-3p)>0 \\-27+12p>0 \\ p> \frac{27}{12} \\ p> \frac{9}{4} \\ p\in ( \frac{9}{4};\infty)}\)

x=3 jest pierwiastkiem powyższej funkcji kwadratowej jeśli:
\(\displaystyle{ 3^2+3 3+9-3p=0 \\ p=9}\)

Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ p\in ( \frac{9}{4};9)\cup (9;\infty)}\)

ODPOWIEDZ