Liniowa zależność wektorów w zależnośći od parametru

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
iceman89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 gru 2008, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

Liniowa zależność wektorów w zależnośći od parametru

Post autor: iceman89 » 13 gru 2008, o 15:53

Witam, mam pewien problem z zadaniem,

Zbadaj liniową zależnośc wektorów (1,0,a), (1,-1,0), (2a,2,1) w przestrzeni R^3 w zależności od parametru a.

Prosze o pomoc, bo juz sie zgubilem w ogromie informacji... :/

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Liniowa zależność wektorów w zależnośći od parametru

Post autor: miki999 » 13 gru 2008, o 17:19

Robię na wpół w pamięci, więc mam nadzieję, że obliczenia są poprawne:

Wektory są liniowo niezależne wtedy, kiedy wyznacznik macierzy z nich utworzonej wynosi 0, w przeciwnym razie wektory są liniowo zależne:

\(\displaystyle{ det ft[\begin{array}{ccc}1&0&a\\1&-1&0\\2a&2&1\end{array}\right] =2a^{2}+2a -1 \\ 2a^{2}+2a-1=0 \\ \Delta =12 \sqrt{ \Delta } =2 \sqrt{3} \\ a_{1}= \frac{-2-2 \sqrt{3} }{4}= \frac{-1- \sqrt{3} }{2} \\ a_{2}= \frac{-2+2 \sqrt{3} }{4}= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2}}\)

Zatem wektory są liniowo zależne dla:
\(\displaystyle{ a= \frac{-1- \sqrt{3} }{2} a= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2}}\)
W przeciwnym wypadku nie.

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 13 gru 2008, o 17:21 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Liniowa zależność wektorów w zależnośći od parametru

Post autor: kuch2r » 13 gru 2008, o 17:20

Proponuje zapisac wektory w postaci macierzy:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&a\\1&-1&0\\2a&2&1\end{array}\right]}\)
Wówczas wektory beda niezalezne wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \det{\mathcal{A}}\neq 0}\)

iceman89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 gru 2008, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

Liniowa zależność wektorów w zależnośći od parametru

Post autor: iceman89 » 13 gru 2008, o 19:25

Hmm... właśnie tak to zrobiłem ale jakos wydaje mi sie niepełna ta odpowiedz! w kazdym razie dziekuje za zainteresowanie,

pozdrawiam

ODPOWIEDZ