Wzór funkcji kwadratowej

[wdsk13]

Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) funkcji kwadratowej, dla której \(\displaystyle{ f(1)=-1}\)oraz \(\displaystyle{ f_{min}(1 \frac{1}{4})=-1 \frac{1}{8}}\).

[Sherlock]

\(\displaystyle{ p = \frac{-b}{2a} =1 \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{- \Delta}{4a} =-1 \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ f(1)=-1}\) czyli:
\(\displaystyle{ -1=a+b+c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b}{2a} =1 \frac{1}{4} \\ \frac{-\Delta}{4a} =-1 \frac{1}{8}\\-1=a+b+c\\ \Delta = b^{2} - 4ac \end{cases}}\)

[wdsk13]

Do czegoś takiego to ja też doszedłem, tylko jak to rozwiązać. Z wyznaczników nie da rady, bo mamy \(\displaystyle{ b^{2}}\).

[Sherlock]

wykorzystamy metodę podstawiania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b}{2a} =1 \frac{1}{4} \\ \frac{-\Delta}{4a} =-1 \frac{1}{8}\\-1=a+b+c\\ \Delta = b^{2} - 4ac \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a} =1 \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ b = - \frac{5}{2} a}\) wyznaczyłem b

\(\displaystyle{ \Delta=(- \frac{5}{2} a)^2-4ac= \frac{25}{4} a^2-4ac}\) wyznaczyłem deltę
\(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a} =-1 \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{9}{2} a}\) także wyznaczyłem deltę

\(\displaystyle{ \frac{25}{4} a^2-4ac= \frac{9}{2} a}\) przyrównałem delty

\(\displaystyle{ -1=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ -1=a- \frac{5}{2} a+c}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{3}{2} a-1}\) wyznaczyłem c

\(\displaystyle{ \frac{25}{4} a^2-4a(\frac{3}{2} a-1)= \frac{9}{2} a}\) podstawiłem c
\(\displaystyle{ \frac{25}{4} a^2-6a^2+4a= \frac{9}{2} a}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^2- \frac{1}{2}a=0}\)
\(\displaystyle{ a^2- 2a=0}\)
\(\displaystyle{ a(a- 2)=0}\)

\(\displaystyle{ a=0}\) (nie bierzemy pod uwagę bo \(\displaystyle{ a 0)}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
\(\displaystyle{ b=-5}\)
\(\displaystyle{ c=2}\)

[piasek101]

Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) funkcji kwadratowej, dla której \(\displaystyle{ f(1)=-1}\)oraz \(\displaystyle{ f_{min}(1 \frac{1}{4})=-1 \frac{1}{8}}\).

Przy takich danych wygodną metodą jest wykorzystanie postaci kanonicznej.

[Sherlock]

Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) funkcji kwadratowej, dla której \(\displaystyle{ f(1)=-1}\)oraz \(\displaystyle{ f_{min}(1 \frac{1}{4})=-1 \frac{1}{8}}\).

Przy takich danych wygodną metodą jest wykorzystanie postaci kanonicznej.

\(\displaystyle{ y = a(x - p)^{2} + q}\)

\(\displaystyle{ -1=a(1-1 \frac{1}{4})^2-1 \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ -1= \frac{1}{16}a-1 \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)

\(\displaystyle{ y=2(x-1 \frac{1}{4})^2-1 \frac{1}{8}}\)

dzięki piasek101