Największy wspólny dzielnik

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Revius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 27 maja 2007, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 65 razy

Największy wspólny dzielnik

Post autor: Revius » 12 gru 2008, o 22:17

Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi \(\displaystyle{ 168}\), a ich największy wspólny dzielnik równa sie \(\displaystyle{ 24}\) Znajdź te liczby.

proszę o wyjaśnienie i rozwiązanie

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Największy wspólny dzielnik

Post autor: Crizz » 12 gru 2008, o 22:19

Niech \(\displaystyle{ NWD(a,b)=d}\), wtedy możemy liczby a i b przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a=dp,b=dq}\), czyli \(\displaystyle{ a=24p,b=24q}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q N}\)
Suma liczb a i b wynosi 168, więc \(\displaystyle{ 24(p+q)=168,p+q=7}\)

Wystarczy teraz sprawdzić, które spośród par \(\displaystyle{ (p,q)}\): \(\displaystyle{ (1,6),(2,5),(3,4)}\) spełniają warunki zadania. Okazuje się, że wszystkie, bo wszystkie pary składają się z liczb względnie pierwszych (jeśli nie rozumiesz, dlaczego, to po prostu policz największy wspólny dzielnik dla każdego przypadku).

Ostatecznie \(\displaystyle{ (p,q)=(1,6),(2,5),(3,4)}\)
czyli \(\displaystyle{ (a,b)=(24,144),(48,120),(72,96)}\)

[ Dodano: 12 Grudnia 2008, 22:20 ]
Oczywiście a i b mogą być zamienione miejscami, więc w zasadzie otrzymujemy sześć rozwiązań, a nie trzy.

ODPOWIEDZ