Oblicz granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Łaju
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lut 2008, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz granice

Post autor: Łaju » 12 gru 2008, o 19:14

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{e ^{sin3x}- e ^{3x} }{x}}\)

Dostalem takie zadanie na kolokwium, wyszedl mi wynik 0, dziwna metoda, jaka metoda jest prawidlowa i jaki powinien wyjsc wynik

*ds4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 10 kwie 2006, o 23:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a co za różnica
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Oblicz granice

Post autor: *ds4 » 12 gru 2008, o 20:02

wiesz mi tez wyszlo 0.

a mianowicie: \(\displaystyle{ e ^{sin3x} - e ^{3x}=[(1+3x) ^{ \frac{1}{sin3x} }] ^{sin3x} - [(1+3x) ^{ \frac{1}{3x} } ] ^{3x}=1+sin3x-1-3x=sin3x - 3x

\lim_{x \to 0} \frac{sin3x-3x}{x}= \lim_{ x\to0 } ( \frac{sin3x}{3x})*3- \frac{3x}{x} =0}\)


oczywiscie pewien nie jestem czy to dobrze ;p

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz granice

Post autor: Lorek » 12 gru 2008, o 21:16

*ds4, Twoje przekształcenia są co najmniej magiczne

Łaju
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lut 2008, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz granice

Post autor: Łaju » 12 gru 2008, o 21:39

czy rozumowanie takim tokiem ma racje bytu?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \sqrt[x]{ \frac{e ^{ \frac{sin3x * 3x}{3x} } - e ^{3x}}{x} }}\) tu korzystam z kryterium Cauchy'ego, wykorzystujac granice specjalne \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{sinx}{x}= 1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \sqrt[x]{x} = 1}}\) otrzymam z tego wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{0}{1} = 0 }\) czyli ciag jest zbieżny, a skoro jest zbiezny to \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }a _{n} = 0}\)

*ds4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 10 kwie 2006, o 23:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a co za różnica
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Oblicz granice

Post autor: *ds4 » 12 gru 2008, o 21:54

Lorek pisze:*ds4, Twoje przekształcenia są co najmniej magiczne
a no jesli chodzi o te e do sin3x to tam zapomnialem sin napisac ;p

a po za tym to nie rozumiem :/

Awatar użytkownika
gufox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 979
Rejestracja: 28 paź 2008, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 89 razy

Oblicz granice

Post autor: gufox » 13 gru 2008, o 00:22

hospitalem to szarpnac

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} e ^{sin3x}3cos3x-3e ^{3x} =0}\)

Łaju
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lut 2008, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz granice

Post autor: Łaju » 13 gru 2008, o 00:34

w poleceniu miałem "nie używajac" hospitala

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz granice

Post autor: Lorek » 13 gru 2008, o 12:36

[quote="*ds4"]
a mianowicie: \(\displaystyle{ e ^{sin3x} - e ^{3x}=[(1+3x) ^{ \frac{1}{sin3x} }] ^{sin3x} - [(1+3x) ^{ \frac{1}{3x} } ] ^{3x}}\)
[/quote]
Tu jest magiczne przejście, które na bardzo upartego można zaakceptować, ale lepiej tak nie robić.


Łaju, Cauchy'ego to się stosuje do ciągów/szeregów i o ile można by to rozszerzyć na granice funkcji to ale przy \(\displaystyle{ x\to \infty}\) a nie \(\displaystyle{ \to 0}\)

*ds4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 10 kwie 2006, o 23:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a co za różnica
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Oblicz granice

Post autor: *ds4 » 13 gru 2008, o 14:10

moze glupie pytanie, ale moglbys mi powiedziec w jaka pulapke moge wpasc tak robiac?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz granice

Post autor: Lorek » 14 gru 2008, o 11:22

Tak na szybko: (jakbym trochę pomyślał to bym i dla e wymyślił)
\(\displaystyle{ 1=\lim_{x\to\infty}1^x=\lim_{x\to\infty}(\sqrt[x]{2})^x=2}\)
w każdym razie chodzi o coś w tym stylu
albo
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\sin x=\frac{1}{x}\cdot 0=0}\)

[ Dodano: 14 Grudnia 2008, 11:33 ]
tu masz przykład na e http://matematyka.pl/97002.htm

ODPOWIEDZ