Matematyka.pl

Witam mam takie zadanie: " Na prostej o równaniu 2x - y + 5 = 0 wyznacz punkt Q, którego odległość od punktu P = (3 , 0) jest najmniejsza " i mam problem, ponieważ gimnastykuje się z nim od 30 minut, a wynik cały czas różni się od tego, który znajduje się w odpowiedziach książki. Dlatego chciałbym prosić was, abyście spróbowali rozwiązać to zadanie i podali mi tylko wyniki. Z góry dziękuję...

Musisz więc wyznaczyć najmniejszą odległość pomiędzy punktem Q=(x, 2x+5) oraz P=(3,0) odległość najmniejszą \(\displaystyle{ min=\sqrt{5x^{2}+14x+36}}\) obliczasz pochodną i przyrównujesz do zera czyli \(\displaystyle{ \frac{10x+14}{\sqrt{5x^{2}+14x+36}}=0}\) rozwiązaniem jest punkt x=-1,4 y=2,2 choć nie dam głowy, ze to jest dobrze ale będziesz miał z czym porównać

Ale Ty potrafisz skomplikować.
Wystarczy poprowadzić prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłą do danej prostej.

To ja mam pytanie
jak uzyskac rownanie prostej przechodzącej przez punkt Q ?
Bo później wystarczy wyliczyć z układu równań współrzędne pkt Q i później zastosować wzór na "długość odcinka o końcach w punktach A i B" co u nas będzie P i Q ...
prosze o pomoc

Równanie prostej prostopadłej:


ponieważ y = ax + b
y = 2x+5

prosta bedzie prostopadla do tej prostej gdy współczynnik \(\displaystyle{ a_1}\) bedzie równy \(\displaystyle{ a_1=-\frac{1}{a}}\)

b oliczasz ze współrzędych punktu P(3,0)

Równanie prostej prostopadłej ma postać:

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\)


Rozwiązujesz puźniej układ równań :


\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}y=2x+5\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right}\)

Wychodza ci współrzędne punktu Q(x,y)

Możesz sobie jeszcze obliczyc ta odległość stosując wzór \(\displaystyle{ |PQ|= \sqrt{(X_Q-X_P)^2+(Y_Q-Y_P)^2}}\)