Proste, parabole, okręgi

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: borubar » 11 gru 2008, o 18:48

Witam, mam problem z niektórymi zadaniami z geometrii analitycznej. W związku z tym że zadania są mi potrzebne na jutro, jestem nawet w wstanie zapłacić za ich rozwiązanie.

Jest ich trochę dużo,ale po prostu nie wiem jak się do nich zabrać...

Proszę więc o pomoc...


Zadanie 1

Prosta o równaniu \(\displaystyle{ x+2y-4=0}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2-3x+5y-4=0}\) w punktach A i B.

a) wyznacz współrzędne punktów A i B
b) oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych.

Zadanie 2


Prosta \(\displaystyle{ k: 3x-y-3=0}\) przecina parabolę \(\displaystyle{ y=-x^2-2x+3}\) w punktach A i B.

a) Wyznacz współrzędne punktów A i B
b) Oblicz odleglość wierzchołka paraboli od prostej k
c) Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB

Zadanie 3

Dany jest trójkąt ABC, gdzie \(\displaystyle{ A(-2,1), B(3,0), C(1,2)}\)

a) oblicz długość wysokości trójkąta ABC poprowadzonej na bok BC
b) oblicz pole trójkąta ABC
c) napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC

Zadanie 4

Napisz równanie wspólnej osi symetrii okręgów o równaniach.

\(\displaystyle{ o1: x^2+y^2-2x+4y+1=0}\) oraz \(\displaystyle{ o2: x^2+y^2+2x-4y-4=0}\)

Napisz równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ o1}\) i nachylonych do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ a=135*}\)

Zależy mi głównie na zadaniu czwartym, za wszelką pomoc z góry dziękuję !

Pozdrawiam borubar

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: Crizz » 11 gru 2008, o 19:28

zadanie 4:

Przekształcasz równanie okręgów do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ o_{1}:x^{2}-2x+1+y^{2}-4x+4-4=0}\)
\(\displaystyle{ o_{1}:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=2^{2}}\)

\(\displaystyle{ o_{2}:x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4-9=0}\)
\(\displaystyle{ o_{2}:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}}\)

Z równania odczytujemy środki okręgów: \(\displaystyle{ S_{1}=(1,-2),S_{2}=(-1,2)}\)
Okręgi nie są wspołśrodkowe, więc jedyną wspólną osią symetrii będzie prosta przechodząca przez ich środki.

Ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:\(\displaystyle{ y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})}\)

Wyznaczamy wzór szukanej funkcji: jeśłi się nie walnąłem, to będzie \(\displaystyle{ y=-4x-6}\)

borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: borubar » 11 gru 2008, o 19:38

Przepraszam, ale możesz napisac jak otrzymałes ten końcowy wzór ?

to nie jest moje lenistwo, tylko por prostu nie wiem jak to rozpisać

w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ y=-2x}\)

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: Crizz » 11 gru 2008, o 19:50

druga część: niech l będzie szukaną prostą. Wspołczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi OX, zatem \(\displaystyle{ a=tg135^{o}=-1}\).

Musimy dobrać takie b, żeby układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4 \\ y=-x+b \end{cases}}\)
miał jedno rozwiązanie. Wzór na y z drugiego równania podstawiamy do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1+x^{2}-2x(b+2)+(b+2)^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}-2(b+3)x+b^{2}+4b+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4(b^{2}+2b-7)}\)
Układ bedzie miał jedno rozwiązanie, kiedy to równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli dla:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 2(b^{2}+2b-7)=0}\)
\(\displaystyle{ b=-2\sqrt{2}-1 b=2\sqrt{2}-1}\)
odp: \(\displaystyle{ y=-x-2\sqrt{2}-1,y=-x+2\sqrt{2}-1}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 19:52 ]
Rzeczywiście, powinno wyjść \(\displaystyle{ y=-2x}\)

\(\displaystyle{ y+2=\frac{2+2}{-1-1}(x-1)}\)
\(\displaystyle{ y=-2x}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 19:58 ]
Chodziło ci o wzór na równanie prostej? Bardzo łatwo go wyprowadzić. Niech prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}\), wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{1}=ax_{1}+b \\ y_{2}=ax_{2}+b \end{cases}}\)
Odejmujesz stronami drugie równanie od pierwszego i od razu możesz wyznaczyć wspołczynnik a. Potem z któregoś z tych równań wyznaczasz b, ostatecznie otrzymasz podany wzór. Warto go znać, bo często skraca zadania. Nie działa tylko dla prostych równoległych do osi OY.

borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: borubar » 11 gru 2008, o 20:02

Wybacz, ale w ostatnim przypadku jak wykonujesz odejmowania stronami drugiego równania od pierwszego ? Wyznaczenie b, już chyba będzie proste. Ale tu coś mi nie wychodzi...

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: Crizz » 11 gru 2008, o 20:09

W zadaniu 3:
a.)
-wyznaczasz ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty prostą BC
-przekształcasz otrzymane równanie do postaci \(\displaystyle{ Px+Qy+R=0}\)
-liczysz odległość punktu A od prostej BC ze wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) od prostej \(\displaystyle{ Px+Qy+R=0}\):
\(\displaystyle{ d=\frac{|Px_{0}+Qy_{0}+R|}{\sqrt{P^{2}+Q^{2}}}}\)
b.)
Wyznaczasz wektory wychodzące z jednego wierzchołka, np. AB i AC:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[5,-1],\vec{AC}=[3,1]}\)
Liczysz wyznacznik pary tych wektorów:
wyznacznik wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}=[a,b],\vec{v}[c,d]}\) wynosi
\(\displaystyle{ det(\vec{u},\vec{v})=ad-bc}\)
W tym przypadku \(\displaystyle{ det(\vec{AB},\vec{BC})=5 3 + 1 1=16}\)
Pole trójkąta ABC jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|=8}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 20:11 ]
no \(\displaystyle{ y_{1}-y_{2}=ax_{1}+b-ax_{2}-b}\)
\(\displaystyle{ y_{1}-y_{2}=a(x_{1}-x_{2})}\)
po prostu lewa strona pierwszego równania minus lewa strona drugiego = prawa strona pierwszego minus prawa strona drugiego
Ostatnio zmieniony 11 gru 2008, o 20:51 przez Crizz, łącznie zmieniany 4 razy.

borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: borubar » 11 gru 2008, o 20:19

Znaczy żę z \(\displaystyle{ y1-y2=a(x1-x2)}\)

wyszło

\(\displaystyle{ y+2= \frac{2+2}{-1-1} * (x-1)}\) ?

Przepraszam, ale po prostu wymiękam. Głupio trochę że mam problem z rozwiązaniem układu równań, ale jakoś to mi nie wychodzi

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: Crizz » 11 gru 2008, o 20:25

Myślałem, że chodzi ci o to, jak wyprowadzić wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Równanie \(\displaystyle{ y+2=\frac{2+2}{-1-1}(x-1)}\) wynika z podstawienia do tego wzoru \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})=(-2,1),(x_{2},y_{2})=(2,-1)}\) po to, żeby otrzymać równanie prostej przechodzącej przez środki podanych okręgów.

borubar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 sie 2008, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 46 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: borubar » 11 gru 2008, o 20:32

No i sie zrozumieliśmy

Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: marcinn12 » 15 gru 2008, o 13:44

Zadanie 3 i 4 widzę, że masz więc pozostaje 1 i 2.

Zad 1

Żeby znaleźć punkty przecięcia musimy znaleźć część wspólną okręgu i prostej, tym samym otrzymujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \frac{1}{2}x+2 \\ x ^{2}+y ^{2} -3x+5y-4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} + (- \frac{1}{2} x+2) ^{2} -3x+5(- \frac{1}{2} x+2)-4=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} + \frac{1}{4} x ^{2} -2x+4-3x- \frac{5}{2} x+10-4=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4}x ^{2} - \frac{15}{2} +10=0 //*4}\)
\(\displaystyle{ 5x ^{2} -30x+40=0 //:5}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -6x+8=0}\)
\(\displaystyle{ \delta=4}\) \(\displaystyle{ \sqrt{\delta} =2}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =2}\) lub \(\displaystyle{ x _{2} =4}\)

Z tego wynika że punkty przecięcia prostej z okręgiem maja współrzędne: A(2,1) i B(4,0).

Pole trójkąta najlepiej ze wzoru:
A(2,1) i B(4,0) i O(0,0)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |(x _{b} -x _{a} )(y _{o}- y _{a} )-(y _{b} -y _{a} )(x _{o} -x _{a} )|}\)

Jeśli nie chcesz go stosować to ... :(
Długość jakiegoś boku i wysokość na nią opuszczoną (ze wzoru na odległość).

Po narysowaniu rysunku wszytsko można z niego odczytać.

|OA|=4 i h=1 ==> \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |OA|*h=2}\)

Nigdzie się nie pomyliłem?

Zad 2.

Ta sama analogia ... nie powiesz chyba, ze nie umiesz :>

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3x-3 \\ y=-x ^{2}-2x+3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 3x-3=-x ^{2} -2x-3}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +5x-6=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =-6}\) lub \(\displaystyle{ x _{2} =1}\)

Z tego wynika, że:
A(-6,-21) B(1,0)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
\(\displaystyle{ O( \frac{-b}{2a}; \frac{-\delta}{4a} )}\) ==> \(\displaystyle{ O(-1,4)}\)

Odległość wierzchołka paraboli od prostej k ze wzoru:

k; 3x-y-3=0 i O(-1,4)
\(\displaystyle{ d(O,k)= \frac{|-3-4-3|}{ \sqrt{10} } = \sqrt{10}}\)

Co do ostatniego wychodzi że średnica ma \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{490}}\) czyli promień będzie 2 razy krótszy. Nie podobają mi się wyniki, masz może odpowiedzi?

mcmcjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1 raz

Proste, parabole, okręgi

Post autor: mcmcjj » 24 lis 2009, o 16:49

Crizz pisze:druga część: niech l będzie szukaną prostą. Wspołczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi OX, zatem \(\displaystyle{ a=tg135^{o}=-1}\).

Musimy dobrać takie b, żeby układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4 \\ y=-x+b \end{cases}}\)
miał jedno rozwiązanie. Wzór na y z drugiego równania podstawiamy do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1+x^{2}-2x(b+2)+(b+2)^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}-2(b+3)x+b^{2}+4b+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4(b^{2}+2b-7)}\)
Układ bedzie miał jedno rozwiązanie, kiedy to równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli dla:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 2(b^{2}+2b-7)=0}\)
\(\displaystyle{ b=-2\sqrt{2}-1 \vee b=2\sqrt{2}-1}\)
odp: \(\displaystyle{ y=-x-2\sqrt{2}-1,y=-x+2\sqrt{2}-1}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 19:52 ]
Rzeczywiście, powinno wyjść \(\displaystyle{ y=-2x}\)

\(\displaystyle{ y+2=\frac{2+2}{-1-1}(x-1)}\)
\(\displaystyle{ y=-2x}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 19:58 ]
Chodziło ci o wzór na równanie prostej? Bardzo łatwo go wyprowadzić. Niech prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}\), wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{1}=ax_{1}+b \\ y_{2}=ax_{2}+b \end{cases}}\)
Odejmujesz stronami drugie równanie od pierwszego i od razu możesz wyznaczyć wspołczynnik a. Potem z któregoś z tych równań wyznaczasz b, ostatecznie otrzymasz podany wzór. Warto go znać, bo często skraca zadania. Nie działa tylko dla prostych równoległych do osi OY.
Dlaczego w tym układzie na początku jest y = -x + b ?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Proste, parabole, okręgi

Post autor: Crizz » 24 lis 2009, o 18:45

Crizz pisze:niech l będzie szukaną prostą. Wspołczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi OX, zatem \(\displaystyle{ a=tg135^{o}=-1}\).

mcmcjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1 raz

Proste, parabole, okręgi

Post autor: mcmcjj » 24 lis 2009, o 21:19

A no tak.

ODPOWIEDZ