Wyrażenia wymierne i funkcja homograficzna

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Cato
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 17 gru 2007, o 14:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Frankfurt
Podziękował: 28 razy

Wyrażenia wymierne i funkcja homograficzna

Post autor: Cato » 11 gru 2008, o 17:00

1.a) Rozszerz wyrażenie tak, aby otrzymać wyrażenie o wskazanym mianowniku: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+1}=\frac{}{x^{2}-5x-6}}\).Wyznacz dziedziny lewej i prawej strony równości.

b) Skróć ułamek \(\displaystyle{ \frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{ x^{3}+x^{2}+x+1}}\) i oblicz jego wartość dla x=-2

2. Ustal dziedzinę wyrażenia i wykonaj wskazane działania:
a) \(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+1}*\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-25}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2x+3}+\frac{x^{2}-4}{4x^{2}-9}-\frac{x+1}{3-2x}}\)

3. Rozwiąż równania:
a) \(\displaystyle{ \frac{3x-1}{2x}=\frac{2}{3x-1}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{x}{x+3}+\frac{1}{x+2}+\frac{2x+3}{x^{2}+5x+6}=0}\)

4. Rozwiąż nierówności:
a)\(\displaystyle{ \frac{2x-3}{x-2}>0}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-1}}\)

Awatar użytkownika
ppolciaa17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 15 lis 2008, o 10:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: NS/Kalisz/Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 99 razy

Wyrażenia wymierne i funkcja homograficzna

Post autor: ppolciaa17 » 11 gru 2008, o 17:22

1 a)
sprowadzamy do postaci iloczynowej mianownik drugi:
\(\displaystyle{ x^{2}-5x-6=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =25+24=49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 7}\)

\(\displaystyle{ x1=-1 , x2=6}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-6}{(x-6)(x+1)}= \frac{1}{x+1}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{x^{4}(x^{2}+1)+1(x^{2}+1)}{x^{2}(x+1)+1(x+1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x^{2}+1)(x^{4}+1)}{(x+1)(x^{2}+1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{4}+1}{x+1}}\) i podstawiasz za x= -2 ale musi być założenie że\(\displaystyle{ D:x \in R \backslash \lbrace -1 \rbrace}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 17:27 ]
2. wszystkie mianowniki muszą być różne od zera czyli np.
a) \(\displaystyle{ x+1 \neq 0 \wedge x^{2}-25 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq -1 \wedge x^{2}=25 \Rightarrow x \neq 5 \wedge x \neq -5}\)

\(\displaystyle{ D: x \in R \backslash \lbrace -5,-1,5 \rbrace}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 17:30 ]
natomiast żeby wykonać działania trzeba poskracać do jak najprostszej postaci ;)
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+1} \cdot \frac{(x-5)(x+1)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}}\)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 17:42 ]
b) rozkładamy ze wsoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2x+3}+ \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(2x+3)}- \frac{x+1}{-(-3+2x)}}\)

\(\displaystyle{ 2x+3 \neq 0 \wedge 2x-3 \neq 0 \wedge}\)
\(\displaystyle{ x \neq - \frac{3}{2} \wedge x \neq \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ D: x \in R \backslash \lbraca - \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \rbraca}\)

sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)(2x-3)}{(2x+3)(2x-3)}+ \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(2x+3)}+ \frac{(x+1)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}}\) w ostatnim działaniu jest "+" bo po wyłaczeniu "-" przed nawias w mianowniku zredukował sie z "-" z działania.. tera wystarczy na jedną kreskę wymnożyć i pododawać ;)

[ Dodano: 11 Grudnia 2008, 17:49 ]
3. a) określamy dziecinę ( mianownik różny od zera) z proporcji mnożysz na krzyż i rozwiązujesz jak normalne równanie
b) określamy dziedzinę i tak jak w 2b) wspólny mianownik ;P nie chce mi się liczyć ale stawiam na (x+3)(x+2)

4. a)nierówność Dziedzina ! a potem jest tak że wykonujemy mnożenie licznika z mianownikiem \(\displaystyle{ (2x-3)(x-2)>0}\) i rozwiązujemy nierówność
b) przenosimy 3 na lewą stronę ze zmienionym znakiem szukamy wspólnego mianownika czyli bedzie (x-1)(x+1) sprowadzamy do niego a następnie mnożymy licznik i mianownik jak w przykładzie a) i rozwiazujemy nierówność

ODPOWIEDZ