twierdzenie Lagrange'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Atraktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 670
Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 37 razy

twierdzenie Lagrange'a

Post autor: Atraktor » 10 gru 2008, o 20:06

jak udowodnić poniższą nierówność z tw. Lagrange'a

\(\displaystyle{ e^{x} >ex \ dla \ x>1}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

twierdzenie Lagrange'a

Post autor: luka52 » 10 gru 2008, o 20:28

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = e^x - e x}\). Na mocy tw. Lagrange'a mamy:
\(\displaystyle{ \frac{e^x - e x - (e^1 - e \cdot 1)}{x - 1} = f'(\xi) = e^{\xi} - e \quad \quad (*)}\)
dla \(\displaystyle{ x, \xi > 1}\).

Mnożąc równanie (*) przez x-1, mamy
\(\displaystyle{ e^x - ex = (e^\xi - e)(x-1) > 0 \; \iff \; e^x > ex}\)
gdyż dla \(\displaystyle{ \forall x > 1 \, : \, x-1>0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall \xi > 1 \, : \, e^{\xi} > e^1}\) - funkcja rosnąca.

ODPOWIEDZ