twierdzenie Lagrange'a

[Atraktor]

jak udowodnić poniższą nierówność z tw. Lagrange'a

\(\displaystyle{ e^{x} >ex \ dla \ x>1}\)

[luka52]

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = e^x - e x}\). Na mocy tw. Lagrange'a mamy:

\(\displaystyle{ \frac{e^x - e x - (e^1 - e \cdot 1)}{x - 1} = f'(\xi) = e^{\xi} - e \quad \quad (*)}\)

dla \(\displaystyle{ x, \xi > 1}\).

Mnożąc równanie (*) przez x-1, mamy

\(\displaystyle{ e^x - ex = (e^\xi - e)(x-1) > 0 \; \iff \; e^x > ex}\)

gdyż dla \(\displaystyle{ \forall x > 1 \, : \, x-1>0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall \xi > 1 \, : \, e^{\xi} > e^1}\) - funkcja rosnąca.