baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
h3X
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 21 paź 2008, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 16 razy

baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Post autor: h3X » 10 gru 2008, o 19:35

Proszę o pomoc w wyznaczeniu bazy i wymiaru podprzestrzeni liniowej poniższego układy równań liniowych jednorodnych:

\(\displaystyle{ x_{1} + x _{2} - x _{3} = 0 , -2 x_{1} - x _{2} + 2x_{3} = 0, - x_{1} + x_{3} =0}\)

Awatar użytkownika
Harry Xin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 545
Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 148 razy
Pomógł: 83 razy

baza i wymiar podprzestrzeni liniowej

Post autor: Harry Xin » 12 gru 2008, o 10:21

Tworzymy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\\ -2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)


Możesz to zapisać w postaci macierzy (jak wolisz). Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy a następnie do pierwszego trzeci i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)


Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ \begin{case} x_{2}=0
\\ x_{1}=x_{3}}\)


gdzie \(\displaystyle{ x_{3}}\) jest parametrem przyjmującym wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
Baza to wszystkie wektory liniowo niezależne: \(\displaystyle{ [1,0,1]}\)
Rozmiar podprzestrzeni liniowej jest równy ilości wektorów w bazie, czyli \(\displaystyle{ dimV=1}\)

Oczywiście przypominam, że wektor [0,0,0] jest wektorem zerowym.

ODPOWIEDZ