zadanie - ciągi

Ela19 · Post autor: **Ela19** » 10 gru 2008, o 19:34

Witam mam problem z poniższym zadaniem, proszę o pomoc i z góry dziękuję za pomoc.

Suma 3 liczb tworzy malejący ciąg arytmetyczny. Suma tych trzech liczb wynosi 12. Jeżeli największą z tych liczb zwiększymy o 2 to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

domyślam się słusznie lub też nie że chodzi o liczby 2, 4 i 6 ale jak to wyliczyć? Bo musi być to też wyliczone :/

RyHoO16 · Post autor: **RyHoO16** » 10 gru 2008, o 19:37

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=12 \\ 2b=a+c \\ b^2=a(c+2) \end{cases} \iff \begin{cases} a=2\\ b=4 \\c =6\end{cases}}\)

maise · Post autor: **maise** » 10 gru 2008, o 19:49

Słusznie, ciąg arytmetyczny:
\(\displaystyle{ a_{1}=6\\
a_{2}=a_{1}+r=6-2=4\\
a_{2}=a_{1}+2r=6-4=2}\)

ciąg geometryczny:
\(\displaystyle{ b_{1}=a_{1}+2=6+2=8\\
b_{2}=b_{1}q=8\cdot \frac{1}{2}=4\\
b_{2}=b_{1}q^2=8\cdot (\frac{1}{2})^2=2}\)

Ela19 · Post autor: **Ela19** » 10 gru 2008, o 20:07

próbuje rozwiązać ten układ równań ale nie umiem z nim ruszyć żeby wyszły te liczby :/ wiem że te równania wynikają z własności ciągów ale na tym moja wiedza prawie się kończy

maise · Post autor: **maise** » 10 gru 2008, o 22:36

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+b+c=12\\
2b=a+c\\
b^2=a(c+2)
\end{cases}
\\
2b+b=12\\
3b=12\\
b=4\\
2\cdot 4=a+c\\
a+c=8\\
a=8-c\\
4^2=(8-c)(c+2)\\
16=8c-c^2+16-2c\\
-c^2+6c=0\\
c^2=6c\\
c=6\\
a=8-6\\
a=2}\)