Objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi- do srawdzenia

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
donbogdan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 maja 2008, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wisła
Podziękował: 1 raz

Objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi- do srawdzenia

Post autor: donbogdan » 10 gru 2008, o 19:27

Obliczyć objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=4, y^{2} + z^{2}=4}\)

a więc wyliczyłem to tak:
\(\displaystyle{ 8\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }[ t_{0}^{2} (\int_{0}^{ \sqrt{4- y^{2} } } dz)dy]dx}\)
\(\displaystyle{ 8\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }[ t_{0}^{2}{ \sqrt{4- r^{2}\sin^2 \theta } } rdr]d\theta}\)
teraz pokrewieństwo zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ d({4- r^{2}\sin^2 \theta })= -2r\sin^2 \theta}\)
całka wyszła tak:
\(\displaystyle{ -4\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1}{sin^2 \theta} t_{0}^{2} (4- r^{2}\sin^2 \theta)^{ \frac{1}{2} }d(4- r^{2}\sin^2 \theta)}\)
a tu wyłapuje zonka:
\(\displaystyle{ - \frac{8}{3}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1}{sin^2 \theta} [-4{sin^2 \theta}]^{ \frac{3}{2} }d\theta}\)
no i teraz nie wiem dalej zbytnio jak sobie poradzić, bo tu ujemny pierwiastek niby wychodzi i w ogóle jak to całkować też nie mam weny

pytanie podstawowe czy do momentu znoka dobrą metodą jadę, pytanie za 100 punktów co z zonkiem?


edit3: 64/3 mi wyszło :E

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

Objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi- do srawdzenia

Post autor: bedbet » 11 gru 2008, o 23:11

Ostatnia całka jest źle policzona. Powinno być:

\(\displaystyle{ -\frac{8}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ft((4-4\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)\frac{d\theta}{\sin^2\theta}}\)

ODPOWIEDZ