trójkąt ostrokątny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
justyska70
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 62 razy

trójkąt ostrokątny

Post autor: justyska70 » 10 gru 2008, o 18:53

na trójkącie ostrokątnym o bokach AB= 10 pierw.z 3 i BC= 5 pierw.z 5 opisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu 10. oblicz cosinus kąta ABC.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

trójkąt ostrokątny

Post autor: lukasz1804 » 10 gru 2008, o 21:01

Dla uproszczenia zapisu oznaczmy \(\displaystyle{ |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c, |\angle ABC|=\alpha}\). Niech R=10 będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Z twierdzenia sinusów mamy \(\displaystyle{ b=2R\sin\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów dostaniemy \(\displaystyle{ a^2+c^2-2ac\cos\alpha=b^2=4R^2\sin^2\alpha=4R^2(1-\cos^2\alpha)}\), czyli \(\displaystyle{ 4R^2\cos^2\alpha-2ac\cos\alpha+(a^2+c^2-4R^2)=0}\).
Wstawiając dane wartości mamy \(\displaystyle{ 400\cos^2\alpha-100\sqrt{15}\cos\alpha+25=0}\), tzn. \(\displaystyle{ 16\cos^2\alpha-4\sqrt{15}\cos\alpha+1=0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{8}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{8}}\).
Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym. Wystarczy sprawdzić, czy w którymś z otrzymanych dwóch przypadków któryś z pozostałych kątów nie jest przypadkiem prosty lub rozwarty. Ponieważ kąt o większej mierze leży zawsze naprzeciw dłuższego boku, to wystarczy zbadać kąt ACB.

ODPOWIEDZ