pochodne - czy dobrze?

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
szamaneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 gru 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

pochodne - czy dobrze?

Post autor: szamaneq » 10 gru 2008, o 15:40

Pierwszy post na forum,
chciałbym prosić o sprawdzenie następujących pochodnych:

a) \(\displaystyle{ y=(lnx)^{x}}\)
\(\displaystyle{ y'=(lnx)^{x}ln^{2}(x)\frac{1}{x}}\) ?

b) \(\displaystyle{ y=xe^{x}}\)
\(\displaystyle{ y^{(n)}=ne^{x}+xe^{x}}\) ?

c)\(\displaystyle{ y=(\frac{x}{x+1})^{x}}\)
\(\displaystyle{ y'=(\frac{x}{x+1})ln(\frac{x}{x+1})}\) ?

Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

pochodne - czy dobrze?

Post autor: jarzabek89 » 10 gru 2008, o 16:41

a) źle \(\displaystyle{ \ln\ln x\neq \ln^{2}x}\)
b) źle, rozumiem że to ma być n-ta pochodna, więc skąd n w rozwiązaniu pochodnej.Wzór Leibniza należy zastosować.
c) źle.

szamaneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 gru 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

pochodne - czy dobrze?

Post autor: szamaneq » 10 gru 2008, o 20:45

hmm.. czyli w przykładzie pioerwszym jeśli napiszę lnlnx będzie dobrze?

a można prosić jakieś wskazówki odnośnie 2 i 3

dlaczego obecność n we wzorze na n-tą pochodną jest złe?

Macabre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 28 lis 2008, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 12 razy

pochodne - czy dobrze?

Post autor: Macabre » 10 gru 2008, o 21:58

a)

\(\displaystyle{ [(lnx)^{x}]'=x(lnx)^{x-1}*\frac{1}{x}=lnx^{x-1}}\)

b)na chlopski rozum wyglada dobrze , pewnie nie przerobilem jeszcze tego o czym mowi Jarzabek89

c)

\(\displaystyle{ y'=\frac{x^{2}}{x+1}*1}\)

MCV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 27 lut 2008, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

pochodne - czy dobrze?

Post autor: MCV » 10 gru 2008, o 22:01

a)

\(\displaystyle{ y'=e^{ln ( (lnx)^{x})} = e^{x ln (lnx)}}\)

i potem z górki już ...

b) to zwykła pochodna iloczynu

f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
gdzie oczywiście:

f(x) = x
g(x) = \(\displaystyle{ e^{x}}\)

c) zrób tak samo jak a)

\(\displaystyle{ y'=e^{ln ( {(\frac{1}{x+1})^{x}} )}}\)

Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

pochodne - czy dobrze?

Post autor: jarzabek89 » 11 gru 2008, o 00:31

MCV, b) Przecież w treści zadania liczymy n-ta pochodną. Ty liczysz pierwszą pochodną, co nie jest zgodne z treścią Gdyby zamiast n stała jedynka lub apostrof to by było dobrze,ale tak nie jest jednak w tym przypadku.

\(\displaystyle{ y^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{(n-k)}(e^{x})^{(k)}}\)

ODPOWIEDZ